Matriu unitària

En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I\,}$

on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U.

L'anàloga real d'una matriu unitària és una matriu ortogonal.

Propietats

Per qualsevol matriu unitària U, el següent és cert:

• Donats dos vectors complexos x i y, la multiplicació per U preserva el seu producte escalar; és a dir,

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$.

• U és normal
• U és diagonalitzable; és a dir, U is semblant unitàriament a una matriu diagonal, a conseqüència del Teorema espectral. Per tant, U té una descomposició de la forma

${\displaystyle U=VDV^{*}\;}$

on V és unitària i D és diagonal i unitària.

• ${\displaystyle |\det(U)|=1}$.
• Els seus espais propis són ortogonals.
• Per qualsevol enter n, el conjunt de totes les matrius unitàries n per n juntament amb el producte matricial forma un grup, anomenat grup unitari U(n).
• Qualsevol matriu quadrada amb la norma euclidiana unitària és la mitjana de dues matrius unitàries^[1]

Condicions equivalents

Si U és una matriu complexa quadrada, llavors les següents condicions són equivalents:

1. U és unitària
2. U * és unitària
3. U és invertible, amb U ^–1=U *
4. les columnes de U formen una base ortonormal de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respecte al producte escalar usual
5. les files de U formen una base ortonormal de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respecte al producte escalar usual
6. U és una isometria respecte a la norma usual
7. U és una matriu normal amb valors propis dins la circumferència unitat

Referències

1. Li, Chi-Kwong; Poon, Edward «Additive Decomposition of Real Matrices». Linear and Multilinear Algebra, 50, 4, 01-01-2002, pàg. 321–326. DOI: 10.1080/03081080290025507.

Vegeu també

• Matriu ortogonal
• Matriu hermítica
• Matriu simplèctica
• Grup unitari
• Grup unitari especial
• Operador unitari
• Descomposició de matrius
• Matriu identitat
• Porta quàntica

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Unitary Matrix» a MathWorld (en anglès).
• Ivanova, O. A.. Michiel Hazewinkel (ed.). Unitary matrix. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Mancilla Aguilar, José Luis. «Matrices Simétricas y Hermíticas». Arxivat de l'original el 23 de setembre 2010. [Consulta: 20 juny 2010].