Lema dels nuclis

En àlgebra lineal, el lema dels nuclis, també anomenat teorema de descomposició dels nuclis, és un resultat sobre reduccions d'endomorfismes. En un espai vectorial E sobre un cos K, si un operador u de E s'anul·la per un polinomi P(X) a coeficients dins K, aleshores aquest lema afirma que existeix una descomposició de E com a suma directa de subespais invariants per u. Aquests subespais invariants es defineixen com a nuclis de polinomis en u, i les projeccions corresponents també són polinomis en u.^[1]

La demostració trasllada la identitat de Bézout per polinomis a subespais vectorials. Com a resultat fonamental, el lema dels nuclis porta a la descomposició de Jordan–Chevalley i a la forma canònica de Jordan. De forma més simple, el lema dels nuclis apunta que un operador u és diagonalitzable si s'anul·la per un polinomi amb arrels simples.

Enunciat

Sigui ${\displaystyle E}$ un espai vectorial sobre un cos commutatiu ${\displaystyle K}$ i sigui ${\displaystyle f}$ un endomorfisme de ${\displaystyle E}$. Si ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]}$ (amb ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$) són primers dos a dos, llavors els subespais vectorials ${\displaystyle V_{i}=\ker(P_{i}(f))}$ (on ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$) estan en suma directa, i ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\ker \left[P_{i}(f)\right]=\ker \left[\left(\prod _{i=1}^{n}P_{i}\right)(f)\right].}$ A més, la projecció de la suma directa sobre ${\displaystyle V_{i}}$ paral·lelament a ${\displaystyle \bigoplus _{j\neq i}V_{j}}$ és la restricció de ${\displaystyle Q_{i}(f)}$ per un polinomi Qi. Lema dels nuclis

Demostració

Reducció al cas n = 2

Primerament, mostrarem per recurrència sobre ${\displaystyle n}$ que, si el lema és cert per ${\displaystyle n=2}$, llavors també és cert per tot ${\displaystyle n}$. Pel cas ${\displaystyle n=1}$ no hi ha res a demostrar (la projecció mencionada és la identitat, que és ${\displaystyle Q(f)}$ amb Q el polinomi constant 1). Si ${\displaystyle n>2}$, escrivim ${\displaystyle Q=P_{1}P_{2}\cdots P_{n-1}}$ i llavors ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}P_{i}=QP_{n}}$, d'on ${\displaystyle Q}$ és primer amb ${\displaystyle P_{n}}$ (ja que, per la identitat de Bézout per polinomis, cadascun dels factors ${\displaystyle P_{i}}$ de ${\displaystyle Q}$ és invertible mòdul ${\displaystyle P_{n}}$, i per tant també ho és el seu producte ${\displaystyle Q}$). El cas ${\displaystyle n=2}$ ens diu que ${\displaystyle \ker(QP_{n})(f)=\ker Q(f)\oplus \ker P_{n}(f)}$, amb les projeccions corresponents donades per polinomis en l'endomorfisme f; la hipòtesi d'inducció ens permet descompondre ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ com a suma directa dels ${\displaystyle \ker P_{i}(f)\,}$ per ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$, i les projeccions de ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ sobre aquests factors es componen amb la projecció sobre ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ per donar finalment les projeccions desitjades ${\displaystyle \ker(QP_{n})(f)\to \ker P_{i}(f)}$.

Cas n = 2

Es pot veure de forma senzilla que l'espai ${\displaystyle V=\ker(P_{1}P_{2})(f)}$ conté els espais ${\displaystyle V_{i}=\ker P_{i}(f)\,}$ per ${\displaystyle i=1,2}$, i per tant també conté la seva suma; ara es tracta de demostrar que la suma ${\displaystyle V_{1}+V_{2}}$ és directa, i que és igual a tot V (amb les projeccions polinòmiques en ${\displaystyle f\,}$). Per la identitat de Bézout, existeixen ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}\in K[X]}$ tals que ${\displaystyle P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2}=1}$, i per tant ${\displaystyle (P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2})(f)=\mathrm {id} _{E}}$ (la funció identitat de ${\displaystyle E}$). Notem que

${\displaystyle \pi _{i}=(P_{j}Q_{j})(f)\mid _{V}\,\in \mathrm {End} (V)\qquad \mathrm {on} ~\{i,j\}=\{1,2\}}$,

i llavors ${\displaystyle \pi _{1}+\pi _{2}=\mathrm {id} _{V}\,}$ i ${\displaystyle \pi _{1}(V_{2})=\pi _{2}(V_{1})=\{0\}\,}$.

Per veure que la suma ${\displaystyle V_{1}+V_{2}}$ és directa, considerem ${\displaystyle x\in V_{1}\cap V_{2}}$. Tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=0\,}$, i la suma és, doncs, directa.

Per veure que ${\displaystyle V_{1}+V_{2}=V}$, considerem ${\displaystyle x\in V}$. Tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)\,}$ amb ${\displaystyle \pi _{1}(x)\in V_{1}\,}$, ja que

${\displaystyle P_{1}(f)(\pi _{1}(x))=(P_{1}P_{2}Q_{2})(f)(x)=(Q_{2}P_{1}P_{2})(f)(x)=Q_{2}(f)(0)=0\,}$,

i similarment ${\displaystyle \pi _{2}(x)\in V_{2}\,}$. D'aquí concloem que ${\displaystyle v\in V_{1}+V_{2}}$ i, per tant, ${\displaystyle V=V_{1}+V_{2}}$.

Finalment, les projeccions de ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ sobre els factors són ${\displaystyle \pi _{1}\,}$ i ${\displaystyle \pi _{2}\,}$: ja hem vist que la imatge de ${\displaystyle \pi _{i}\,}$ està continguda a ${\displaystyle V_{i}}$, i que s'anul·la per l'altre factor; només resta veure que ${\displaystyle \pi _{i}\,}$ és la identitat sobre ${\displaystyle V_{i}}$. Per ${\displaystyle x\in V_{i}}$ tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=\pi _{i}(x)\,}$, cosa que volíem demostrar.

Aplicacions

El lema dels nuclis és útil per reduir endomorfismes. Per exemple:

Sigui ${\displaystyle E}$ un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos ${\displaystyle K}$ i sigui ${\displaystyle f}$ un endomorfisme de ${\displaystyle E}$. Sigui ${\displaystyle P\in K[X]}$ un polinomi anul·lador de ${\displaystyle f}$ (per exemple, el seu polinomi mínim, o el seu polinomi característic, pel teorema de Cayley-Hamilton) i sigui ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}}$ la factorització de ${\displaystyle P}$ en els polinomis ${\displaystyle P_{i}}$ irreductibles i diferents. Llavors existeix una base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle E}$ i existeixen matrius ${\displaystyle A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)}$ tals que ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};}$ on ${\displaystyle n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$ (de fet, la part de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ corresponent al bloc ${\displaystyle A_{i}}$ és una base de ${\displaystyle \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$), i ${\displaystyle P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0}$. Reducció a una forma diagonal per blocs

Demostració

Per hipòtesi, ${\displaystyle \ker P(f)=E}$. Llavors, pel lema dels nuclis: ${\displaystyle E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).}$ Cada subespai ${\displaystyle \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$ és invariant per ${\displaystyle f}$, i per tant la matriu de ${\displaystyle f}$ (en qualsevol base de ${\displaystyle E}$ adaptada a la descomposició anterior en subespais invariants) és diagonal per blocs, com volíem demostrar.

Referències

1. «Théorème de Cayley-Hamilton-Relations entre la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme minimal et celle du polynôme caractéristique». [Consulta: 28 juliol 2018].