En el camp matemàtic de l'anàlisi numèrica la interpolació per splines és una forma d'interpolació on l'interpolant és un tipus especial de funció polinòmica definida a trossos anomenada un spline . La interpolació per splines es prefereix sobre la interpolació polinòmica perquè l'error d'interpolació es pot fer petit fins i tot en utilitzar polinomis de graus baixos per l'spline. La interpolació per splines evita el problema del fenomen de Runge que ocorre en interpolar entre punts equidistants amb polinomis de graus alts.
Els regles elàstics que es doblegaven per passar a través d'un cert nombre de punts predefinits (els "nodes") s'utilitzaven per a dibuixos tècnics a mà per a la construcció naval, com s'il·lustra a la figura 1.
Figura 1: Interpolació amb splines cúbics entre vuit punts. Els dibuixos tècnics dibuixats de mà es feien per construcció de vaixells etc. utilitzant regles flexibles que es doblegaven per seguir punts predefinits (els "nodes") L'enfocament per imitar matemàticament la forma de tals regles elàstics fixats a n+1 "nodes"
(
x
i
,
y
i
)
i
=
0
,
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle (x_{i},y_{i})\quad i=0,1,\cdots ,n}
(
x
i
− − -->
1
y
i
− − -->
1
)
{\displaystyle (x_{i-1}\,\ y_{i-1})}
(
x
i
y
i
)
{\displaystyle (x_{i}\,\ y_{i})}
y
=
q
i
(
x
)
i
=
1
,
2
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle y=q_{i}(x)\quad i=1,2,\cdots ,n}
La curvatura d'una corba
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
és
Com que el regle elàstic prendrà una forma que minimitza l'energia de flexió elàstica sota la restricció de passar a través de tots els "nodes" tant
y
′
{\displaystyle y'}
y
″
{\displaystyle y''}
q
i
′
(
x
i
)
=
q
i
+
1
′
(
x
i
)
{\displaystyle q'_{i}(x_{i})=q'_{i+1}(x_{i})}
i que
q
i
″
(
x
i
)
=
q
i
+
1
″
(
x
i
)
{\displaystyle q''_{i}(x_{i})=q''_{i+1}(x_{i})}
per a tot i,
1
≤ ≤ -->
i
≤ ≤ -->
n
− − -->
1
{\displaystyle 1\leq i\leq n-1}
Un polinomi de tercer ordre
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
q
(
x
1
)
=
y
1
{\displaystyle q(x_{1})=y_{1}}
q
(
x
2
)
=
y
2
{\displaystyle q(x_{2})=y_{2}}
q
′
(
x
1
)
=
k
1
{\displaystyle q^{'}(x_{1})=k_{1}}
q
′
(
x
2
)
=
k
2
{\displaystyle q^{'}(x_{2})=k_{2}}
es pot escriure de forma simètrica
q
=
(
1
− − -->
t
)
y
1
+
t
y
2
+
t
(
1
− − -->
t
)
(
a
(
1
− − -->
t
)
+
b
t
)
{\displaystyle q\ =\ (1-t)\ y_{1}+\ t\ y_{2}\ +\ t\ (1-t)\ (a\ (1-t)+b\ t)}
(1 )
on
t
=
x
− − -->
x
1
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle t={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
(2 )
i
a
=
k
1
(
x
2
− − -->
x
1
)
− − -->
(
y
2
− − -->
y
1
)
{\displaystyle a=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})}
(3 )
b
=
− − -->
k
2
(
x
2
− − -->
x
1
)
+
(
y
2
− − -->
y
1
)
{\displaystyle b=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1})}
(4 )
Com que
q
′
=
d
q
d
x
=
d
q
d
t
d
t
d
x
=
d
q
d
t
a
l
q
u
a
l
1
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle q^{'}={\frac {dq}{dx}}={\frac {dq}{dt}}\ {\frac {dt}{dx}}={\frac {dq}{dt}}\ alqual{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}}
q
′
=
y
2
− − -->
y
1
x
2
− − -->
x
1
+
(
1
− − -->
2
t
)
a
(
1
− − -->
t
)
+
b
t
x
2
− − -->
x
1
+
t
(
1
− − -->
t
)
b
− − -->
a
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle q^{'}\ ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+(1-2t)\ {\frac {a\ (1-t)+b\ t}{x_{2}-x_{1}}}\ +\ \ t\ (1-t)\ {\frac {b-a}{x_{2}-x_{1}}}}
(5 )
q
″
=
2
b
− − -->
2
a
+
(
a
− − -->
b
)
3
t
(
x
2
− − -->
x
1
)
2
{\displaystyle q^{''}=2{\frac {b-2a+(a-b)3t}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}}
(6 )
Posant
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
x
=
x
2
{\displaystyle x=x_{2}}
5 6 2
q
′
(
x
1
)
=
k
1
{\displaystyle q^{'}(x_{1})=k_{1}}
q
′
(
x
2
)
=
k
2
{\displaystyle q^{'}(x_{2})=k_{2}}
q
″
(
x
1
)
=
2
b
− − -->
2
a
(
x
2
− − -->
x
1
)
2
{\displaystyle q^{''}(x_{1})=2{\frac {b-2a}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}}
(7 )
q
″
(
x
2
)
=
2
a
− − -->
2
b
(
x
2
− − -->
x
1
)
2
{\displaystyle q^{''}(x_{2})=2{\frac {a-2b}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}}
(8 )
Si ara
(
x
i
,
y
i
)
i
=
0
,
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle (x_{i},y_{i})\quad i=0,1,\cdots ,n}
són els n+1 punts i
q
i
=
(
1
− − -->
t
)
y
i
− − -->
1
+
t
y
i
+
t
(
1
− − -->
t
)
(
a
i
(
1
− − -->
t
)
+
b
i
t
)
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle q_{i}\ =\ (1-t)\ y_{i-1}+\ t\ y_{i}\ +\ t\ (1-t)\ (a_{i}\ (1-t)+b_{i}\ t)\quad i=1,\cdots ,n}
(9 )
on
t
=
x
− − -->
x
i
− − -->
1
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
{\displaystyle t={\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}}
són n polinomis de tercer grau que interpolen
y
{\displaystyle y}
x
i
− − -->
1
≤ ≤ -->
x
<
x
i
≤ ≤ -->
{\displaystyle x_{i-1}\leq x<x_{i}\leq }
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle i=1,\cdots ,n}
q
i
′
(
x
i
)
=
q
i
+
1
′
(
x
i
)
{\displaystyle q_{i}^{'}(x_{i})=q_{i+1}^{'}(x_{i})}
per a
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
− − -->
1
{\displaystyle i=1,\cdots ,n-1}
llavors els n polinomis junts defineixen una funció derivable a l'interval
x
0
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
x
n
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{n}}
a
i
=
k
i
− − -->
1
(
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
)
− − -->
(
y
i
− − -->
y
i
− − -->
1
)
{\displaystyle a_{i}=k_{i-1}(x_{i}-x_{i-1})-(y_{i}-y_{i-1})}
(10 )
b
i
=
− − -->
k
i
(
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
)
+
(
y
i
− − -->
y
i
− − -->
1
)
{\displaystyle b_{i}=-k_{i}(x_{i}-x_{i-1})+(y_{i}-y_{i-1})}
(11 )
per a
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
{\displaystyle i=1,\cdots ,n}
k
0
=
q
1
′
(
x
0
)
{\displaystyle k_{0}=q_{1}^{'}(x_{0})}
(12 )
k
i
=
q
i
′
(
x
i
)
=
q
i
+
1
′
(
x
i
)
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
− − -->
1
{\displaystyle k_{i}=q_{i}^{'}(x_{i})=q_{i+1}^{'}(x_{i})\quad i=1,\cdots ,n-1}
(13 )
k
n
=
q
n
′
(
x
n
)
{\displaystyle k_{n}=q_{n}^{'}(x_{n})}
(14 )
Si la successió
k
0
,
k
1
,
⋯ ⋯ -->
,
k
n
{\displaystyle k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n}}
q
i
″
(
x
i
)
=
q
i
+
1
″
(
x
i
)
{\displaystyle q_{i}^{''}(x_{i})=q_{i+1}^{''}(x_{i})}
per a
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
− − -->
1
{\displaystyle i=1,\cdots ,n-1}
la funció que resulta tindrà fins i tot una segona derivada contínua.
De (7 8 10 11
k
i
− − -->
1
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
+
(
1
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
+
1
x
i
+
1
− − -->
x
i
)
2
k
i
+
k
i
+
1
x
i
+
1
− − -->
x
i
=
3
(
y
i
− − -->
y
i
− − -->
1
(
x
i
− − -->
x
i
− − -->
1
)
2
+
y
i
+
1
− − -->
y
i
(
x
i
+
1
− − -->
x
i
)
2
)
{\displaystyle {\frac {k_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}+\left({\frac {1}{x_{i}-x_{i-1}}}+{\frac {1}{x_{i+1}-x_{i}}}\right)\ 2k_{i}+{\frac {k_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}=3\ \left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{{(x_{i}-x_{i-1})}^{2}}}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{{(x_{i+1}-x_{i})}^{2}}}\right)}
(15 )
per a
i
=
1
,
⋯ ⋯ -->
,
n
− − -->
1
{\displaystyle i=1,\cdots ,n-1}
Les relacions (15
k
0
,
k
1
,
⋯ ⋯ -->
,
k
n
{\displaystyle k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n}}
Per als regles elàstics que són el model per la interpolació per splines cal observar que a l'esquerra del primer node i a la dreta del últim el regle es pot moure lliurement i per tant prendrà la forma d'una recta amb
q
″
=
0
{\displaystyle q''=0}
q
″
{\displaystyle q''}
funció contínua de
x
{\displaystyle x}
15
q
i
″
(
x
0
)
=
2
3
(
y
1
− − -->
y
0
)
− − -->
(
k
1
+
2
k
0
)
(
x
1
− − -->
x
0
)
(
x
1
− − -->
x
0
)
2
=
0
{\displaystyle q_{i}^{''}(x_{0})\ =2\ {\frac {3(y_{1}-y_{0})-(k_{1}+2k_{0})(x_{1}-x_{0})}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}=0}
q
n
″
(
x
n
)
=
− − -->
2
3
(
y
n
− − -->
y
n
− − -->
1
)
− − -->
(
2
k
n
+
k
n
− − -->
1
)
(
x
n
− − -->
x
n
− − -->
1
)
(
x
n
− − -->
x
n
− − -->
1
)
2
=
0
{\displaystyle q_{n}^{''}(x_{n})\ =-2\ {\frac {3(y_{n}-y_{n-1})-(2k_{n}+k_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}{{(x_{n}-x_{n-1})}^{2}}}=0}
és a dir que
2
x
1
− − -->
x
0
k
0
+
1
x
1
− − -->
x
0
k
1
=
3
y
1
− − -->
y
0
(
x
1
− − -->
x
0
)
2
{\displaystyle {\frac {2}{x_{1}-x_{0}}}k_{0}\ +{\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}k_{1}=3\ {\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}
(16 )
1
x
n
− − -->
x
n
− − -->
1
k
n
− − -->
1
+
2
x
n
− − -->
x
n
− − -->
1
k
n
=
3
y
n
− − -->
y
n
− − -->
1
(
x
n
− − -->
x
n
− − -->
1
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n-1}\ +{\frac {2}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n}=3\ {\frac {y_{n}-y_{n-1}}{(x_{n}-x_{n-1})^{2}}}}
(17 )
(15 16 17
k
0
,
k
1
,
⋯ ⋯ -->
,
k
n
{\displaystyle k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n}}
Exemple
Figura 2: Interpolació amb splines cúbics "naturals entre tres punts. En el cas de tres punts els valors per a
k
0
,
k
1
,
k
2
{\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2}}
sistema d'equacions lineals
[
a
11
a
12
0
a
21
a
22
a
23
0
a
32
a
33
]
[
k
0
k
1
k
2
]
=
[
b
1
b
2
b
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{0}\\k_{1}\\k_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{bmatrix}}}
amb
a
11
=
2
x
1
− − -->
x
0
{\displaystyle a_{11}={\frac {2}{x_{1}-x_{0}}}}
a
12
=
1
x
1
− − -->
x
0
{\displaystyle a_{12}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}}
a
21
=
1
x
1
− − -->
x
0
{\displaystyle a_{21}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}}
a
22
=
2
(
1
x
1
− − -->
x
0
+
1
x
2
− − -->
x
1
)
{\displaystyle a_{22}=2\ \left({\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}\right)}
a
23
=
1
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle a_{23}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}}
a
32
=
1
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle a_{32}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}}
a
33
=
2
x
2
− − -->
x
1
{\displaystyle a_{33}={\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}}
b
1
=
3
y
1
− − -->
y
0
(
x
1
− − -->
x
0
)
2
{\displaystyle b_{1}=3\ {\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}
b
2
=
3
(
y
1
− − -->
y
0
(
x
1
− − -->
x
0
)
2
+
y
2
− − -->
y
1
(
x
2
− − -->
x
1
)
2
)
{\displaystyle b_{2}=3\ \left({\frac {y_{1}-y_{0}}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}\right)}
b
3
=
3
y
2
− − -->
y
1
(
x
2
− − -->
x
1
)
2
{\displaystyle b_{3}=3\ {\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}}
Per als tres punts
(
− − -->
1
,
0.5
)
,
(
0
,
0
)
,
(
3
,
3
)
{\displaystyle (-1,0.5)\ ,\ (0,0)\ ,\ (3,3)}
s'obté que
k
0
=
− − -->
0.6875
,
k
1
=
− − -->
0.1250
,
k
2
=
1.5625
{\displaystyle k_{0}=-0.6875\ ,\ k_{1}=-0.1250\ ,\ k_{2}=1.5625}
i de (10 11
a
1
=
k
0
(
x
1
− − -->
x
0
)
− − -->
(
y
1
− − -->
y
0
)
=
− − -->
0.1875
{\displaystyle a_{1}=k_{0}(x_{1}-x_{0})-(y_{1}-y_{0})=-0.1875}
b
1
=
− − -->
k
1
(
x
1
− − -->
x
0
)
+
(
y
1
− − -->
y
0
)
=
− − -->
0.3750
{\displaystyle b_{1}=-k_{1}(x_{1}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})=-0.3750}
a
2
=
k
1
(
x
2
− − -->
x
1
)
− − -->
(
y
2
− − -->
y
1
)
=
− − -->
3.3750
{\displaystyle a_{2}=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})=-3.3750}
b
2
=
− − -->
k
2
(
x
2
− − -->
x
1
)
+
(
y
2
− − -->
y
1
)
=
− − -->
1.6875
{\displaystyle b_{2}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1})=-1.6875}
A la figura 2 es mostra la funció spline que consta dels dos polinomis cúbics
q
1
(
x
)
{\displaystyle q_{1}(x)}
q
2
(
x
)
{\displaystyle q_{2}(x)}
9
