Funció zeta d'Arakawa–Kaneko

En matemàtiques, la funció zeta d'Arakawa-Kaneko és una generalització de la funció zeta de Riemann, que genera valors especials de la funció polilogaritme.

Definició

La funció zeta ${\displaystyle \xi _{k}(s)}$ es defineix per

${\displaystyle \xi _{k}(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {Li} _{k}(1-e^{-t})\,dt\ }$

on Li_k és el k-polilogaritme

${\displaystyle \mathrm {Li} _{k}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{k}}}\ }$

Propietats

La integral convergeix per a ${\displaystyle \Re (s)>0}$ i ${\displaystyle \xi _{k}(s)}$ i té continuació analítica en tot el pla complex com una funció entera.

El cas especial k = 1 dona ${\displaystyle \xi _{1}(s)=s\zeta (s+1)}$ on ${\displaystyle \zeta }$ és la funció zeta de Riemann.

El cas especial s = 1 també dona ${\displaystyle \xi _{k}(1)=\zeta (k+1)}$ on ${\displaystyle \zeta }$ és la funció zeta de Riemann.

Els valors en nombres enters estan relacionats amb valors de la funció zeta múltiple per a

${\displaystyle \xi _{k}(m)=\zeta _{m}^{*}(k,1,\ldots ,1)}$

on

${\displaystyle \zeta _{n}^{*}(k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n})=\sum _{0<m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}}{\frac {1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}m_{n}^{k_{n}}}}\ }$

Referències

• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu «Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related zeta functions». Nagoya Math. J., 153, 1999, pàg. 189-209.
• Coppo, Marc-Antoine; Candelpergher, Bernard «The Arakawa–Kaneko zeta function». Ramanujan J., 22, 2010, pàg. 153–162.
• Kaneko, Masanobou «Poly-Bernoulli numbers». J. Théor. Nombres Bordx., 9, 1997, pàg. 221–228.