Representació en color de la funció trigamma, ψ 1 (z )pla complex .En matemàtiques , la funció trigamma , denotada ψ 1 (z )funcions poligamma , i està definida per
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
d
2
d
z
2
ln
-->
Γ Γ -->
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}
D'aquesta definició es desprèn que
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
d
d
z
ψ ψ -->
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}
on ψ (z )funció digamma . També es pot definir com la suma de la sèrie
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
(
z
+
n
)
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}
convertint-lo en un cas especial de la funció zeta de Hurwitz .
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
ζ ζ -->
(
2
,
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}
Tingueu en compte que les dues últimes fórmules són vàlides quan 1 − z no és un nombre natural .
Una representació, en forma d'integral doble , com una alternativa a una de les donades anteriorment, es pot derivar de la representació en forma de sèrie:
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
∫ ∫ -->
0
1
∫ ∫ -->
0
x
x
z
− − -->
1
y
(
1
− − -->
x
)
d
x
d
y
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dx\,dy}
utilitzant la fórmula per a la suma d'una sèrie geomètrica . Integrant per parts s'obté:
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
− − -->
∫ ∫ -->
0
1
x
z
− − -->
1
ln
-->
x
1
− − -->
x
d
x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}
Una expansió asimptòtica com una sèrie de Laurent és
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
1
z
+
1
2
z
2
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
B
2
k
z
2
k
+
1
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
B
k
z
k
+
1
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}
(si, per exemple, es tria B 1 = 1 / 2 nombres de Bernoulli ).
La funció trigamma satisfà la relació de recurrència
ψ ψ -->
1
(
z
+
1
)
=
ψ ψ -->
1
(
z
)
− − -->
1
z
2
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}
i la fórmula de reflexió
ψ ψ -->
1
(
1
− − -->
z
)
+
ψ ψ -->
1
(
z
)
=
π π -->
2
sin
2
-->
π π -->
z
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}
que immediatament dona el valor de z = 1 / 2
ψ ψ -->
1
(
1
2
)
=
π π -->
2
2
{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}
Valors especials
La funció trigamma té els següents valors especials:
ψ ψ -->
1
(
1
4
)
=
π π -->
2
+
8
G
ψ ψ -->
1
(
1
2
)
=
π π -->
2
2
ψ ψ -->
1
(
1
)
=
π π -->
2
6
ψ ψ -->
1
(
3
2
)
=
π π -->
2
2
− − -->
4
ψ ψ -->
1
(
2
)
=
π π -->
2
6
− − -->
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}
on G constant de Catalan .
No hi ha arrels a l'eix real de ψ 1 zn , zn Re z < 0 . Cada parell d'arrels s'acosta ràpidament a Re zn = −n + 1 / 2 i la seva part imaginària augmenta logarítmicament lent amb n z 1 = −0.4121345... + 0.5978119...i z ₂ = −1.4455692... + 0.6992608...i Im(z ) > 0 .
La funció digamma amb arguments racionals es pot expressar en termes de funcions trigonomètriques i logaritmes pel teorema de la digamma . Un resultat similar es manté per a la funció trigamma, però les funcions circulars se substitueixen per la funció de Clausen . És a dir,[ 1]
ψ ψ -->
1
(
p
q
)
=
π π -->
2
2
sin
2
-->
(
π π -->
p
/
q
)
+
2
q
∑ ∑ -->
m
=
1
(
q
− − -->
1
)
/
2
sin
-->
(
2
π π -->
m
p
q
)
Cl
2
(
2
π π -->
m
q
)
.
{\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}
Un mètode fàcil per obtenir un valor aproximat de la funció trigamma és prendre la derivada de l'expansió en sèrie de la funció digamma .
ψ ψ -->
1
(
x
)
≈ ≈ -->
1
x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
− − -->
1
30
x
5
+
1
42
x
7
− − -->
1
30
x
9
+
5
66
x
11
− − -->
691
2730
x
13
+
7
6
x
15
{\displaystyle \psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}}
La funció trigamma apareix en aquesta fórmula de suma sorprenent:[ 2]
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
n
2
− − -->
1
2
(
n
2
+
1
2
)
2
(
ψ ψ -->
1
(
n
− − -->
i
2
)
+
ψ ψ -->
1
(
n
+
i
2
)
)
=
− − -->
1
+
2
4
π π -->
coth
-->
π π -->
2
− − -->
3
π π -->
2
4
sinh
2
-->
π π -->
2
+
π π -->
4
12
sinh
4
-->
π π -->
2
(
5
+
cosh
-->
π π -->
2
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}
↑ L , Lewin. Structural properties of polylogarithms (en anglès). American Mathematical Society, 1991. ISBN 978-0821816349 ↑
Mező , István «Some infinite sums arising from the Weierstrass Product Theorem» (en anglès). Applied Mathematics and Computation , 219(18), 2013, pàg. 9838–9846. DOI : 10.1016/j.amc.2013.03.122 .
Bibliografia
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e24e4208057e7060a32421f0059d7c3db5255f)
