Funció de Griewank

En matemàtiques, la funció de Griewank s'utilitza sovint en les proves d'optimització, i es defineix com:^[1]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4000}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x_{i}}{\sqrt {i}}}\right)}$

Els paràgrafs següents mostren els casos especials de la funció de Griewank de primer, segon i tercer ordre, i les seves gràfiques.

Funció de Griewank de primer ordre

${\displaystyle g:=1+(1/4000)\cdot x_{1}^{2}-\cos(x_{1})}$

La funció de Griewank de primer ordre té múltiples màxims i mínims.^[2]

Fem que la derivada de la funció Griewank sigui zero:

${\displaystyle {\frac {1}{2000}}\cdot x_{1}+\sin(x_{1})=0}$

Les seves arrels es troben en l'interval [−100..100] mitjançant el mètode numèric,

A l'interval [−10000,10000], la funció de Griewank té 6365 punts crítics.

• 
  Gràfica de la funció de Griewank de primer ordre

Funció de Griewank de segon ordre

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4000}}x_{1}^{2}+{\frac {1}{4000}}x_{2}^{2}-\cos(x_{1})\cos \left({\frac {1}{2}}x_{2}{\sqrt {2}}\right)}$

• 
  Gràfica de contorn de la funció de Griewank de segon ordre
• 
  Gràfica 3D de la funció de Griewank de segon ordre

Funció de Griewank de tercer ordre

${\displaystyle \left\{1+{\frac {1}{4000}}\,x_{1}^{2}+{\frac {1}{4000}}\,x_{2}^{2}+{\frac {1}{4000}}\,{x_{3}}^{2}-\cos(x_{1})\cos \left({\frac {1}{2}}x_{2}{\sqrt {2}}\right)\cos \left({\frac {1}{3}}x_{3}{\sqrt {3}}\right)\right\}}$

• 
  Gràfica 3D de la funció de Griewank de tercer ordre

Referències

1. Griewank, A. O. "Generalized Decent for Global Optimization." J. Opt. Th. Appl. 34, 11–39, 1981
2. Locatelli, M. "A Note on the Griewank Test Function." J. Global Opt. 25, 169–174, 2003