Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a ${\displaystyle \ x,y}$ o ${\displaystyle \ z,{\bar {z}}}$) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.

Considerem aquí una funció ${\displaystyle \ f:U\to \mathbb {C} }$ d'una variable complexa, definida en un obert U de ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Emprem les notacions següents :

• la variable complexa ${\displaystyle \ z}$ es nota per ${\displaystyle \ x+i\,y}$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de ${\displaystyle \ f(z)=f(x+i\,y)}$ es noten respectivament per ${\displaystyle \ P(x,y)}$ i ${\displaystyle \ Q(x,y)}$, és a dir : ${\displaystyle \ f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$, on ${\displaystyle \ P,\,Q}$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa

Derivades parcials respecte a x i y

Definició : sigui ${\displaystyle \ z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}\in U}$, on ${\displaystyle \ x_{0},\,y_{0}}$ són reals.

• diem que f té derivada parcial (primera) al punt ${\displaystyle \ z_{0}}$ respecte a la variable x, notada per ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ si existeix el límit (finit) ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=\lim _{u\to 0,\,u\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}}$
• diem que f té derivada parcial (primera) al punt ${\displaystyle \ z_{0}}$ respecte a la variable y, notada per ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}$ si existeix el límit (finit) ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=\lim _{v\to 0,\,v\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}}$

Propietat :

• la derivada parcial ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ existeix si i només si les derivades parcials ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$ existeixen, i aleshores ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$
• la derivada parcial ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}$ existeix si i només si les derivades parcials ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ existeixen, i aleshores ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$

Derivades parcials d'ordre superior :

• si, per exemple, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$ existeix en tot punt ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$, es defineix la funció ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}:U\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(z)}$
• si, a més a més, la funció ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ té derivada parcial primera al punt ${\displaystyle \ z_{0}}$ respecte a la variable x, la notem per ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})}$ : ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})}$. Semblantment, si existeix ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})}$, la notem per ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(z_{0})}$, etc.

Derivades parcials respecte a ${\displaystyle \ z}$ i ${\displaystyle \ {\bar {z}}}$

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt ${\displaystyle \ z_{0}}$. Aleshores, definim :

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})-i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)}$

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,\left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})-{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right)}$

Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal, anomenada diferencial.

• Definició : diem que una aplicació ${\displaystyle L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal si : ${\displaystyle \forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)}$.
  • (aleshores : ${\displaystyle \forall u\in \mathbb {R} ,\,\forall v\in \mathbb {R} ,\,L(u+i\,v)=uL(1)+vL(i)}$)

• Definició : diem que la funció ${\displaystyle \ f:U\to \mathbb {C} }$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en un punt ${\displaystyle z_{0}\in U}$ si existeixen una aplicació ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal ${\displaystyle L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ i una funció ${\displaystyle \ \epsilon }$ d'una variable complexa tals que ${\displaystyle \epsilon (h)\to 0}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$ i ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)}$ (suposant que ${\displaystyle \ |h|<r}$, on r és el radi d'una bola tal que ${\displaystyle \ B(z_{0},\,r)\subset U}$).
  • Quan existeix, l'aplicació L és única (a conseqüència de la propietat següent); s'anomena ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferencial o diferencial de ${\displaystyle \ f}$ en ${\displaystyle \ z_{0}}$ i es nota habitualment per ${\displaystyle \ df(z_{0})}$.
  • Diem que ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en U si és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en tot punt de U.

• Propietat : quan ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en un punt ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$, aleshores
  • és contínua en ${\displaystyle \ z_{0}}$
  • té derivades parcials primeres en ${\displaystyle z_{0}}$, i
    • ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)=df(z_{0})(1)}$
    • ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)=df(z_{0})(i)}$.

demostració :

• continuïtat : ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)\to f(z_{0})}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$ perquè ${\displaystyle L(h)\to 0}$ (la ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i ${\displaystyle h\,\epsilon (h)\to 0}$.
• existència i expressió de les derivades parcials primeres :
  • per a tot u real tal que ${\displaystyle \ |u|<r}$, ${\displaystyle f(z_{0}+u)=f(z_{0})+L(u)+u\,\epsilon (u)=f(z_{0})+uL(1)+u\,\epsilon (u)}$; per tant, si ${\displaystyle u\neq 0}$, ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=L(1)+\epsilon (u)\to L(1)}$ quan ${\displaystyle u\to 0}$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció ${\displaystyle \ f}$ en ${\displaystyle \ z_{0}}$ respecte a ${\displaystyle \ x}$, i la igualtat ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)}$
  • per a tot v real tal que ${\displaystyle \ |v|<r}$, ${\displaystyle f(z_{0}+i\,v)=f(z_{0})+L(i\,v)+i\,v\,\epsilon (i\,v)=f(z_{0})+vL(i)+i\,v\,\epsilon (i\,v)}$; per tant, si ${\displaystyle v\neq 0}$, ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}=L(i)+i\,\epsilon (i\,v)\to L(i)}$ quan ${\displaystyle v\to 0}$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció ${\displaystyle \ f}$ en ${\displaystyle \ z_{0}}$ respecte a ${\displaystyle \ y}$, i la igualtat ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)}$.

• Teorema : una condició suficient (no necessària) de ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
  • si ${\displaystyle \ f}$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a ${\displaystyle \ z}$ i ${\displaystyle \ {\bar {z}}}$) en tot punt d'un entorn de ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$, i si ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ (o ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$) són contínues en ${\displaystyle \ z_{0}}$, aleshores ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle \ z_{0}}$
  • en particular, si ${\displaystyle \ f}$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a ${\displaystyle \ z}$ i ${\displaystyle \ {\bar {z}}}$) definides i contínues en tot punt de U, la funció ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en U. En aquest cas, es diu que ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-contínuament diferenciable en U, o de classe ${\displaystyle \ C^{1}}$ en U.