Funció absolutament contínua

En matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real de variable real com una propietat semblant, però més forta, a la continuïtat i a la variació afitada. Una funció absolutament contínua queda caracteritzada pel fet de ser una integral indefinida de Lebesgue. Aquesta noció és important en Teoria de la mesura i en Probabilitats.

Definició

Es diu que una funció ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ és absolutament contínua^[1] si donat qualsevol ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existeix ${\displaystyle \delta >0}$ tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{n},b_{n})\subset [a,b]}$ tals que$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta ,}$$ es te que $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\vert f(b_{i})-f(a_{i})\vert <\varepsilon .}$$Aquesta definició s'estén al cas d'una funció ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ eliminant la condició que els diferents intervals oberts estiguin inclosos en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$^[2].

Propietats

Les següents propietats es troben demostrades a Royden^[3] o Natenson^[4]

Propietats de continuïtat i derivabilitat

Sigui ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ absolutament contínua. Aleshores:

1. ${\displaystyle f}$ és contínua. Veurem als exemples que hi ha funcions contínues que no són absolutament contínues.

2.${\displaystyle f}$ té variació afitada.

3.${\displaystyle f}$ té derivada finita en quasi tots els punts (Lebesgue) i la derivada és integrable Lebesgue.

4.Si la derivada ${\displaystyle f'}$ compleix que ${\displaystyle f'(x)=0,{\text{quasi per tot }}x\in [a,b]}$, aleshores ${\displaystyle f}$ és constant.

Relació amb les integrals indefinides de Lebesgue

Recordem que donada una funció ${\displaystyle g:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue)^[5] de ${\displaystyle g}$ a la funció ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ definida per $${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt.}$$Aquesta funció ${\displaystyle f}$ és^[6] contínua, de variació afitada i derivable en quasi tots els punts i ${\displaystyle f'(x)=g(x),\ {\text{quasi per tot }}x.}$

El resultat fonamental sobre funcions absolutament contínues és que aquestes funcions coincideixen amb les integrals indefinides:

Teorema^[7]. Una funció ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ és absolutament contínua si i només si és una integral indefinida; concretament, tenim

$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt.}$$

Exemples

1. La funció de Cantor ${\displaystyle F:[0,1]\longrightarrow [0,1]}$ és contínua, amb derivada 0 en quasi tots els punts. No és absolutament contínua perquè contradiu la propietat 4 que hem vist anteriorment. Però, d'altra banda, també és clar que ${\displaystyle F(x)\neq \int _{0}^{x}F'(t)\,dt}$, ja que aquesta integral és zero. Per tant, la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua.

2. Natanson^[8] demostra que la funció $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x\,\cos {\frac {\pi }{2x}},&{\text{si }}0<x\leq 1,\\0,&{\text{si }}x=0,\end{cases}}}$$és contínua però no té variació afitada. Per tant, no pot ser absolutament contínua. És un altre exemple de funció contínua que no és absolutament contínua.

Notes

1. Royden, 1988, p. 108.
2. Athreya, 2006, p. 128.
3. Royden, 1988, Capítol 5, secció 4.
4. Natanson, 1964, Capítol IX.
5. Royden, 1988, p. 104.
6. Royden, 1988, p. 105-107.
7. Royden, 1988, p. 110.
8. Natanson, 1964, p. 216.

Referències

• Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. Nova York: Springer, 2006. ISBN 0-387-32903-X. 

• Natanson, J. P.. Theory of Functions of a Real Variable. Nova York: Frederick Ungar, Publishing Co., 1964. 

• Royden, H. L.. Real analysis. 3a edició. Nova York: Macmillan, 1988. ISBN 0-02-404151-3.