Forma quadràtica

Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ :

${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{i\,j}\,x_{i}\,x_{j},}$

on ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {R} ,\ i,j=1,\dots n}$.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:

${\displaystyle Q(x)=ax^{2},}$

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,}$

${\displaystyle Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}$

Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:

${\displaystyle d^{2}(p,q)=(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=x_{p}^{2}+x_{q}^{2}-2x_{p}x_{q}+y_{p}^{2}+y_{q}^{2}-2y_{p}y_{q}+z_{p}^{2}+z_{q}^{2}-2z_{p}z_{q}.}$

Notació matricial

Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna: ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\rm {T}}}$, on ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{\rm {T}}}$ és la transposada de la matriu o del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$. Considerem la matriu $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\big (}A_{ij}{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}.}$$ Aleshores, la forma quadràtica s'escriu $${\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}.}$$
Definim la matriu $${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\Big (}(A_{ij}+A_{ji})/2{\Big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}={\frac {1}{2}}{\big (}A+A^{\rm {T}}),}$$Aquesta matriu és simètrica i es compleix que $${\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {x}}.}$$Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.

Situacions més generals

Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple Queysanne (1971:cap. 15).

Bibliografia

Queysanne, Michel. Álgebra básica. Barcelona: Vicens-Vives, 1971. ISBN 84-316-1360-2.