Filtre de Sallen-Key

Un filtre de Sallen-Key és un tipus de filtre electrònic actiu d'especial importància per la seva simplicitat. Aquesta topologia fou introduïda per primer cop per R. P. Sallen i E. L. Key del laboratori Lincoln del MIT el 1955.^[1]

El circuit produeix un filtre passabaix, un filtre passaalt o un filtre passabanda de dos pols (-40 dB/dècada) emprant només dues resistències, dos condensadors i un amplificador operacional. Per tal d'obtenir filtres d'ordre superior es poden connectar diverses etapes en cascada.^[2]

Els filtres de Sallen-Key són poc sensibles a la tolerància dels components, tanmateix són necessaris valors extrems per tal d'obtenir un factor de qualitat elevat.^[2]

Configuració genèrica

Figura 1: Circuit genèric d'un filtre de Sallen-Key de guany unitari.

A la Figura 1 es pot observar la configuració genèrica d'un filtre de Sallen-Key de guany unitari. Al següent anàlisi es parteix de la hipòtesi d'utilitzar un amplificador operacional ideal.

En un amplificador operacional ideal es compleix la igualtat ${\displaystyle V_{p}=V_{n}}$ (curtcircuit virtual). Com que, amb les connexions mostrades, la tensió de l'entrada inversora és la mateixa que la de sortida, tenim,

${\displaystyle V_{p}=V_{n}=V_{o}}$

(1)

El mètode de l'anàlisi nodal modificat de circuits ens mostra que podem determinar qualsevol variable del circuit aplicant, en aquest cas, la llei de Kirchhoff del corrent (KCL) als nodes ${\displaystyle V_{x}}$ i ${\displaystyle V_{p}}$ s'obtenen les equacions:

${\displaystyle {\frac {V_{x}-V_{i}}{Z_{1}}}+{\frac {V_{x}-V_{p}}{Z_{2}}}+{\frac {V_{x}-V_{o}}{Z_{3}}}=0.}$

(2)

${\displaystyle {\frac {V_{p}-V_{x}}{Z_{2}}}+{\frac {V_{p}}{Z_{4}}}=0.}$

(3)

Substituint les variables (1) en les equacions (2) i (3) i arranjant aquestes darreres en forma matricial s'obté,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}&-{\frac {1}{Z_{2}}}-{\frac {1}{Z_{3}}}\\-{\frac {1}{Z_{2}}}&{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{4}}}\end{bmatrix}}\cdot {\Biggl [}{\begin{matrix}V_{x}\\V_{o}\end{matrix}}{\Biggr ]}={\begin{bmatrix}{\frac {V_{i}}{Z_{1}}}\\0\end{bmatrix}}}$

(4)

Resolent aquest sistema per ${\displaystyle V_{o}}$ aplicant, per exemple, la regla de Cramer resulta,

${\displaystyle V_{o}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{1}Z_{3}+Z_{2}Z_{3}+Z_{3}Z_{4}}}\cdot V_{i}.}$

(5)

Vegeu també

• Electrònica analògica
• Filtre analògic
• Filtre digital

Referències

1. R.E. Thomas; A.J. Rosa; G.J. Toussaint. The Analysis & Design of Linear Circuits. John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-1118065587. 
2. S. Winder. Analog and Digital Filter Design. Newnes. ISBN 978-0750675475.