Factor d'integració

En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma:

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad (1)\,}$

on ${\displaystyle y=y(x)}$ és una funció desconeguda de ${\displaystyle x}$, i ${\displaystyle a(x)}$ i ${\displaystyle b(x)}$ són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció ${\displaystyle M(x)}$. Es multipliquen ambdues bandes de (1) per ${\displaystyle M(x):}$

${\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad (2)}$

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad (3)\,}$

I això es pot integrar,

${\displaystyle y(x)M(x)=\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C\,}$

on ${\displaystyle C}$ és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per ${\displaystyle y(x),}$

${\displaystyle y(x)={\frac {\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,}$

Tanmateix, per resoldre explícitament per ${\displaystyle y(x)}$ es necessita trobar l'expressió de ${\displaystyle M(x).}$ Es pot deduir de (2) que ${\displaystyle M(x)}$ obeeix l'equació diferencial

${\displaystyle M'(x)-a(x)M(x)=0\quad \quad \quad (4)\,}$

Per aconseguir ${\displaystyle M(x)}$, es divideixen les dues bandes per ${\displaystyle M(x):}$

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad (5)\,}$

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

${\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!a(x)\,dx}\,}$

Es pot veure que multiplicar per ${\displaystyle M(x)}$ i la propietat ${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)}$ són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. ${\displaystyle M(x)}$ s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).

Exemple

Donada l'equació diferencial

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0}$

Es pot observar que en aquest cas ${\displaystyle a(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!a(x)\,dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!{\frac {-2}{x}}\,dx}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$

Multiplicant ambdues bandes per ${\displaystyle M(x)}$ s'obté

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

o bé

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}$

que dona

${\displaystyle y(x)=Cx^{2}\,}$

Vegeu també

• Mètode de variació dels paràmetres