Les varietats de curvatura constant són més familiars en el cas de dues dimensions, on el pla el·líptic o superfície d'una esfera és una superfície de curvatura positiva constant, un pla pla (és a dir, euclidià ) és una superfície de curvatura zero constant i un pla hiperbòlic, és una superfície de curvatura negativa constant.[2]
L'espai anti-de Sitter es generalitza a qualsevol nombre de dimensions de l'espai. En dimensions superiors, és més conegut pel seu paper en la correspondència AdS/CFT, que suggereix que és possible descriure una força en mecànica quàntica (com l'electromagnetisme, la força feble o la força forta) en un nombre determinat de dimensions (per exemple quatre) amb una teoria de cordes on les cordes existeixen en un espai anti-de Sitter, amb una dimensió addicional (no compacta).[4]
Definició i propietats
Tant com els espais esfèrics i hiperbòlics es poden visualitzar mitjançant una incrustació isomètrica en un espai pla d'una dimensió superior (com l'esfera i la pseudosfera respectivament), l'espai anti-de sitter es pot visualitzar com l'anàleg lorentzian d'una esfera en un espai d'una dimensió addicional. La dimensió addicional és temporal. En aquest article adoptem la convenció que la mètrica en una direcció temporal és negativa.
L'espai anti-de Sitter de signatura (p, q) es pot incrustar isomètricament a l'espai amb coordenades (x1, ..., xp, t1, ..., tq+1) i la mètrica
on és una constant diferent de zero amb dimensions de longitud (el radi de curvatura). Es tracta d'una esfera (generalitzada) en el sentit que és una col·lecció de punts per als quals la "distància" (determinada per la forma quadràtica) des de l'origen és constant, però visualment és un hiperboloide, com a la imatge mostrada.
La mètrica sobre l'espai anti-de Sitter és l'induït per la mètrica ambiental. No és degenerat i, en el cas de q = 1 té signatura lorentziana.
Quan q = 0, aquesta construcció dóna un espai hiperbòlic estàndard. La resta de la discussió s'aplica quan q ≥ 1.
Referències
↑Dirac, Paul Journal of Mathematical Physics, 4, 1963, pàg. 901–909.