Equació de Clairaut

En anàlisi matemàtica, l'equació de Clairaut és una equació diferencial de la forma

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

on fés contínuament diferenciable. És un cas particular de l'equació diferencial de Lagrange. Porta el nom del matemàtic francès Alexis Clairaut, que la va introduir el 1734.^[1]

Definició

Per resoldre l'equació de Clairaut, es diferencia respecte a ${\displaystyle x}$, quedant

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

per tant

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}$

i així

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

o

${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}$

• En el primer cas, ${\displaystyle C={\frac {y}{x}}}$ per a qualsevol constant arbitrària ${\displaystyle C}$, substituint això en l'equació de Clairaut, s'obté la família de funcions de línia recta donades per:

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

anomenades solucions generals de l'equació de Clairaut.

• L'altre cas, ${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$ defineix només una solució ${\displaystyle y(x)}$, anomenada solució singular, el gràfic de la qual és l'envolvent de les gràfiques de les solucions generals. La solució singular es representa normalment utilitzant notació paramètrica, com:

${\displaystyle (x(p),y(p))}$,

on ${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}}$.

Exemples

1) Les corbes següents representen les solucions a dues equacions de Clairaut:

• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

En cada cas, les solucions generals es representen en negre mentre que la solució singular és en violeta.

2) Resoldre: ${\displaystyle xy'''+(y''')^{2}=y''.\,}$

Fem: ${\displaystyle y''=p,\,}$

per tant: ${\displaystyle xp'+(p')^{2}=p,\,}$

obtenint l'equació de Clairaut, la solució de la qual és: ${\displaystyle p=y''=Cx+C^{2},\,}$

de la qual es pot obtenir i integrant dues vegades, així: ${\displaystyle y=\int \int y''\,dxdx=\int \int (Cx+C^{2})\,dxdx=\int ({\frac {Cx^{2}}{2}}+C^{2}x+D)\,dx={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E,\,}$ sent ${\displaystyle D}$ i ${\displaystyle E}$ altres dues constants qualsevol.

Solució: ${\displaystyle y={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E.}$

Generalització

Per extensió, una equació diferencial parcial de primer ordre de la forma:

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

també s'anomena equació de Clairaut.^[2]

Referències

1. Clairaut 1734
2. Kamke, 1944.

Bibliografia

• Clairaut, Alexis Claude «Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée» (en francès). Histoire de l'Académie royale des sciences, 1734, pàg. 196–215.
• Kamke, E «Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden» (en alemany). Akad. Verlagsgesell, 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, 1944.
• Rozov, N. Kh. Michiel Hazewinkel (ed.). Clairaut equation. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Vegeu també

• Equació de Chrystal