Derivada aritmètica

En la teoria de nombres, la derivada aritmètica, o derivada numèrica, és una funció definida per a enters, basada en la seva descomposició en factors primers, per analogia amb la regla de producte de la derivada d'una funció que es fa servir en l'anàlisi.

Definició

Per a nombres naturals es defineix de la manera següent:

• ${\displaystyle \scriptstyle p'=1\!}$ per a qualsevol nombre primer ${\displaystyle \scriptstyle p\!}$.
• ${\displaystyle \scriptstyle (ab)'=a'b+ab'\!}$ per a qualsevol ${\displaystyle \scriptstyle a{\textrm {,}}b\in \mathbb {N} }$ (Regla del producte).

Per tal que coincideixi amb la regla del producte ${\displaystyle 1'}$ es defineix com ${\displaystyle 0}$, tal com és ${\displaystyle 0'}$. Explícitament, suposant que

${\displaystyle x=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}{\textrm {,}}}$

on ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ són nombres primers diferents i ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ són enters positius. Llavors

${\displaystyle x'=\sum _{i=1}^{k}e_{i}p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{i}^{e_{i}-1}\cdots p_{k}^{e_{k}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e_{i}}{p_{i}}}x.}$

La derivada aritmètica també compleix la regla de la potència (per a nombres primers):

${\displaystyle (p^{a})'=ap^{a-1}{\textrm {,}}\!}$

on ${\displaystyle p}$ és primer i ${\displaystyle a}$ és un enter positiu. Per exemple

${\displaystyle {\begin{aligned}81'=(3^{4})'&=(9\cdot 9)'=9'\cdot 9+9\cdot 9'=2[9(3\cdot 3)']\\&=2[9(3'\cdot 3+3\cdot 3')]=2[9\cdot 6]=108=4\cdot 3^{3}.\end{aligned}}}$

La successió de derivades aritmètiques per k = 0, 1, 2... comença (successió A003415 a l'OEIS):

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ....

E.j. Barbeau va ser el primer a formalitzar aquesta definició. L'estenia a tots els enters demostrant que ${\displaystyle (-x)'=-x'}$ defineix unívocament la derivada sobre els enters. Barbeau també l'estenia a nombres racionals. Victor Ufnarovski i Bo Åhlander l'estenien a certs irrationals. En aquestes ampliacions, la fórmula de damunt encara s'aplica, però els exponents ${\displaystyle e_{i}}$ es permet que siguin nombres racionals arbitraris.

Rellevància per a la teoria de nombres

Ufnarovski i Åhlander han detallat la connexió de la funció a conjectures teòriques de nombre famoses com la conjectura dels nombres primers bessons, la conjectura de nombres primers trigèmins, i la Conjectura de Goldbach. Per exemple, la conjectura de Goldbach implicaria, per a cada k > 1 existeix un n de manera que n' = 2k. La conjectura dels nombres primers bessons implicaria que hi hagi una quantitat infinita de k per als quals k'' = 1.

Referències

• E. J. Barbeau, "Remark on an arithmetic derivative", Canadian Mathematical Bulletin Vol. 4 (1961), 117–122.
• Victor Ufnarovski and Bo Åhlander, "How to Differentiate a Number", Journal of Integer Sequences Vol. 6 (2003), Article 03.3.4.
• Arithmetic Derivative Arxivat 2007-10-18 a Wayback Machine., Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
• L. Westrick. Investigations of the Number Derivative.
• Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• Stay, M. Generalized Number Derivatives.