Convergència uniforme

La convergència uniforme^[1] és un concepte propi de l'anàlisi matemàtica, sobretot de l'anàlisi real, introduït per salvar les mancances de la convergència puntual en successions de funcions.

Definició

Donada una successió de funcions ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, amb ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow Y}$, amb Y un espai mètric amb distància d, direm que convergeix uniformement a una funció ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, i ho notarem ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ (unif.), si es compleix:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \ \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \ :\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n>N,\ d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon \ \ \forall x\in X}$

És a dir, la convergència uniforme es dona quan a partir d'un cert terme de la successió, les funcions són tan properes com vulguem en tots els punts (${\displaystyle f_{n}}$ s'aproxima a ${\displaystyle f}$ per igual a tot X, uniformement); aquest detall és el que diferencia la Convergència Uniforme de Convergència Puntual.

En particular, per funcions ${\displaystyle f_{n}}$ reals de variable real, que és el cas que desenvoluparem en aquest article, tenim:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \ \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \ :\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n>N,\ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \ \ \forall x\in \mathbb {R} }$

Convergència uniforme de sèries

Direm que la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ convergeix uniformement^[1] a una funció ${\displaystyle f}$, si ho fa la successió corresponent de sumes parcials ${\displaystyle \{\sum _{n=1}^{N}f_{n}\}_{N\in \mathbb {N} }}$, és a dir, si es compleix:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \ \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \ :\ \forall m\in \mathbb {N} ,\ m>N,\ |\sum _{n=1}^{m}f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \ \ \forall x\in \mathbb {R} }$

Criteri de Cauchy

El criteri de Cauchy per la convergència uniforme de successions de funcions,^[1] nom que ve del matemàtic francès Augustin Louis Cauchy, ens diu que una successió de funcions ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ convergeix uniformement a una funció ${\displaystyle f}$ si, i només si, a partir d'un cert terme, les imatges per dos elements de la successió qualssevol d'un punt qualsevol del domini són tan properes com vulguem; és a dir:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \ \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \ :\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n,m>N,\ |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon \ \ \forall x\in \mathbb {R} }$

De nou, com en la definició de convergència uniforme, observem que aquí N només depèn de ${\displaystyle \epsilon }$, i no pas del punt del domini escollit, així que podríem resumir el criteri dient que les funcions "s'han d'acostar a tots els punts per igual, uniformement" a partir d'un cert terme.

Referències

1. Rudin, Walter. Principios de Análisis Matemático. McGraw Hill, 1980; p.157.