Constant de Gompertz

En matemàtiques, la constant de Gompertz o constant d'Euler-Gompertz, denotada per ${\displaystyle G}$, és una constant matemàtica que apareix en avaluacions integrals i com a valor de funcions especials. Porta el nom del matemàtic anglès Benjamin Gompertz.

El valor numèric de ${\displaystyle G}$ és de:

${\displaystyle G=0.596347362323194074341078499369279376074\dots \qquad }$(successió A073003 a l'OEIS)

A més, pot ser definida per la fracció contínua:

${\displaystyle G={\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {4}{6-{\cfrac {9}{8-{\cfrac {16}{10-{\cfrac {25}{12-{\cfrac {36}{14-{\cfrac {49}{16-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}},}$

o, alternativament, per:

${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+4{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

L'aparició més freqüent de ${\displaystyle G}$ és com a resultat de les següents integrals:

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\log(x)}}dx.}$

Quan estudiava sèries infinites divergents, Euler es va trobar ${\displaystyle G}$ a través de les representacions integrals mencionades. L'enginyer químic francès François Le Lionnais va anomenar ${\displaystyle G}$ constant de Gompertz pel seu paper en la funció de Gompertz.^[1]

Identitats en què apareix la constant de Gompertz

La constant ${\displaystyle G}$ pot ser expressada per l'exponencial integral com:

${\displaystyle G=-e{\textrm {Ei}}(-1).}$

Aplicant l'expansió en sèrie de Taylor de ${\displaystyle {\textrm {Ei}}}$ es té que:

${\displaystyle G=-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

La constant de Gompertz està relacionada amb els coeficients de Gregory a través de la fórmula de I. Mező de 2013:^[2]

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}$

Enllaços externs

• Constant de Gompertz a Wolfram MathWorld

Referències

1. Steven R., Finch. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003, p. 425–426.. 
2. Mező, István «Gompertz constant, Gregory coefficients and a series of the logarithm function». Journal of Analysis and Number Theory, 7, 2013, pàg. 1–4.