Trigonometrijska funkcija

Trigonometrija

Historija Upotrebe Funkcije Inverzne funkcije Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta Tačne konstante Trigonometrijske tablice CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem Kosinusni teorem Tangensni teorem Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral Trigonometrijska substitucija Integrali funkcija Derivacije funkcija Integrali inverznih funkcija

Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

Definicija

Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc). ^[1]

Odnosno:

${\displaystyle \sin \alpha ={{\mbox{a}} \over {\mbox{c}}}}$

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

${\displaystyle \csc \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}}$

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

${\displaystyle \cos \alpha ={{\mbox{b}} \over {\mbox{c}}}}$

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

${\displaystyle \sec \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}}$

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

${\displaystyle \tan \alpha ={{\mbox{tg}}A}={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}}$

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

${\displaystyle \cot \alpha ={{\mbox{ctg}}A}={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}}$

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Trigonometrijska kružnica

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku ${\displaystyle O(0,0)}$ , tj. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla ${\displaystyle \varphi }$ definišu se jednakostima

1. ${\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}$ sinus i kosinus su realni brojevi.
2. ${\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}$ tangens i kotangens
3. ${\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}$ sekans i kosenkans
4. ${\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}$ kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao ${\displaystyle \varphi }$ može rasti do ${\displaystyle 360^{o}}$ i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla ${\displaystyle \varphi }$ . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. To se vidi iz tabele ^[2]

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima

Kvadrant	1. (0°-90°)	2. (90°-180°)	3. (180°-270°)	4. (270°-360°)
sinus	+	+	-	-
kosinus	+	-	-	+
tangens	+	-	+	-

Svođenje na prvi kvadrant

Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: ^[3]

${\displaystyle \cos(\pi -\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi -\phi )=\sin \phi ,}$

${\displaystyle \cos(\pi +\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi +\phi )=-\sin \phi ,}$

${\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}$

Funkcije kosinus i sinus imaju period ${\displaystyle 2\pi }$ , a tangens ${\displaystyle \pi }$ :

${\displaystyle \cos(2\pi +\phi )=\cos \phi ,\;\sin(2\pi +\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (\pi +\phi )=\operatorname {tg} \phi .}$

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule ^[4]

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$

Period funkcije ${\displaystyle \sin {2\alpha }}$ je

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}$, odnosno ${\displaystyle \pi }$.

Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant, na način vidljiv u sljedećoj tabeli

${\displaystyle \beta \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }$	T${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle 2\,\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin \beta \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$
${\displaystyle \cos \beta \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$

U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}$

${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$

f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,

g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: ^[5]

Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija

${\displaystyle \phi \,}$	0°	30°	45°	60°	90°
${\displaystyle \sin \phi \,}$	0	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	1
${\displaystyle \cos \phi \,}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0
${\displaystyle \operatorname {tg} \phi }$	0	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

${\displaystyle \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$

Redovi

Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija. majući u vidu jednakosti

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}}}$,

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}$

u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

${\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}$

${\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}$

${\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}$

${\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}$

Parnost

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

${\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}$

${\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}$

${\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}$

Granična vrijednost

${\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.}$

${\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}$ З

${\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$

Izvod

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}$

${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}$

${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}$

${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}$

Dokaz

${\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}$ pa je

${\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}$ kada ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$

Zbog ${\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}$ биће ${\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}$

Izvod količnika ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}$

Izvod količnika ${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.}$

Integrali trigonometrijskih funkcija

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:

${\displaystyle \ \ \ \ f(x)}$	${\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}$	${\displaystyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \,\ \sin x}$	${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\cos x+C}$
${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\sin x}$	${\displaystyle \,\ \sin x+C}$
${\displaystyle \,\ \tan x}$	${\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \cot x}$	${\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \sec x}$	${\displaystyle \,\ \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \csc x}$	${\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}$

Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}$

uslov ${\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}$.

${\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}$

${\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}$

Inverzne trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije su

${\displaystyle arcsinx}$ arkus sinus

${\displaystyle arccosx}$ arkus kosinus

${\displaystyle arctgx}$ arkus tangens

${\displaystyle arcctgx}$ arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ako}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ako}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ako}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{za}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ako}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}}$

inus versus je trigonometrijska funkcija

${\displaystyle y=\operatorname {versin} x=1-\cos x}$

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama ${\displaystyle \left(2k\pi ,0\right)}$, a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je ${\displaystyle 2\pi }$, minimumi su u nulama, a maksimumi ${\displaystyle ((2k+1)\pi ,2)}$

Versine funkcije

Funkcija sinus versus ugla alfa je

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\alpha )=1-cos\alpha }$.

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta )=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta )={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta )={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}$

Primjena u fizici

Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

Također pogledajte

• Eulerova formula
• Hiperbolička funkcija
• Spisak integrala trigonometrijskih funkcija

Reference

1. "sinus, kosinus, tagens" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 17. 5. 2017. Pristupljeno 5. 5. 2016.
2. znak^{[mrtav link]}
3. Adicione formule
4. Periodičnost^{[mrtav link]}
5. vrijednosti^{[mrtav link]}

Vanjski linkovi

1. Trigonometrija - osnovne formule
2. Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
3. trigonometrijske funkcije
4. Trigonometric functions
5. Tablica izvoda Arhivirano 17. 5. 2017. na Wayback Machine
6. Versine
7. Coversine