Leibnizov test za alternativne redove

Leibnizov test za alternativne redove je metoda koja se koristi za dokazivanje beskonačni redovi konvergiraju. Otkrio je Gottfried Leibniz.

Red oblika

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}\!}$

gdje su svi a_n pozitivni ili 0, naziva se alternativni red. Ako niz a_n konvergira u 0, te ako je svaki a_n manji od a_n-1 (npr. red a_n je monotono opadajući), tada red konvergira. Ako je L suma reda,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L\!}$

tada parcijalna suma

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}\!}$

približna sumi L sa greškom od

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$

Jasno je da je moguće za red da njegove parcijalne sume S_k ispunjavaju ovaj posljednji uslov bez da red bude alternativni. Na primjer, imamo red:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}={\frac {1}{2}}\!}$

Također pogledajte

• Dirichletov test

Reference

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
• Last, Philip, "Sequences and Series", New Science, Dublin, 1979. (§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3 pogrešan ISBN