Geometrijsko tijelo

Geometrijsko tijelo je trodimenzionalni predmet, koji može biti raznih veličina i oblika.

Poliedar

Poliedar

Poliedar je tijelo kojem je površina niz poligona. Poligone zovemo stranicama, a mjesta spajanja stranica zovemo ivicama. Uglovi gdje se spajaju tri ili više stranice zovu se vrhovi. Ime poliedra ovisi o broju njegovih stranica.

Naziv poliedra	Broj stranica
Tetraedar (piramida)	4
Pentaedar	5
Heksaedar	6
Heptaedar	7
Oktaedar	8
Nonaedar	9
Dekaedar	10
Dodekaedar	12
Ikosaedar	20

Konveksni poliedar

Konveksni poliedar je poliedar kod kojeg je dihedralni ugao(ugao na mjestu spajanja dvije stranice) manji od 180° (npr. kocka).

Konkavni poliedar

Konkavni poliedar je poliedar kod kojeg je barem jedan dihedralni ugao veći od 180°. To znači da je bar jedan od vrhova usmjeren prema sredini tijela.

Konkavni poliedar

Pravilni poliedar

Pravilni poliedar je poliedar kod kojega su stranice identični poligoni. Uglovi pri vrhovima su jednaki. Postoji pet pravilnih poliedara. Oni su bili poznati grčkom filozofu Platonu, te se nazivaju i Platonova tijela.

Platonova tijela

U Platonova tijela spadaju: pravilni tetraedar, kocka, pravilni oktaedar, pravilni dodekaedar, pravilni ikosaedar.

Pravilni tetraedar ima četiri stranice koje su jednakostranični trouglovi.

Pravilni tetraedar

Kocka ima šest kvadratnih stranica.

Kocka

Pravilni oktaedar ima osam stranica, koje su jednakostranični trouglovi.

Pravilni oktaedar

Pravilni dodekaedar ima dvanaest stranica, koje su sve pravilni petouglovi.

Pravilni dodekaedar

Pravilni ikosaedar ima dvadeset stranica, koje su jednakostranični trouglovi.

Pravilni ikosaedar

Elementi pravilnih poliedara

Poliedar	Broj strana	Broj ivica	Broj vrhova	Ugao između strana
Tetraedar	4 trougla	6	4	60°
Kocka	6 kvadrata	12	8	90°
Oktaedar	8 trougla	12	6	109,47°
Dodekaedar	12 petougla	30	20	116,58°
Ikosaedar	20 trougla	30	12	139,19°

Polupravilni poliedar

Polupravilni poliedar je poliedar kod kojeg stranice pripadaju različitim vrstama pravilnih poligona. Ikosidodekaedar je polupravilni poliedar s 32 stranice od kojih je 20 trouglova i 12 petouglova.

Ikosidodekaedar

Eulerova formula

Eulerova formula koja se odnosi na poliedre glasi: ${\displaystyle V-E+F=2}$ . Pri čemu je ${\displaystyle V}$ broj vrhova, ${\displaystyle E}$ broj ivica i ${\displaystyle F}$ broj stranica.

Ovu formulu možemo pokazati na primjeru kocke, koja ima 8 vrhova, 12 ivica i 6 stranica ( ${\displaystyle 8-12+6=2}$ ).

Formula je dobila ime po švicarskom matematičaru Leonhardu Euleru.

Piramida

Piramida je poliedar koji ima poligon kao bazu, a stranice su mu trouglovi koji se spajaju u tački na vrhu. Naziv piramida se odnosi na oblik njene baze. Ako je baza pravilni poligon i piramida je pravilna piramida.

Trostrana piramida

Četverostrana piramida

Petostrana piramida

Pravilna uspravna piramida je piramida kod koje je visina položena na središte baze.

Pravilna uspravna piramida

Visina stranice

Visina stranice je dužina pravca koji se okomito spušta iz vrha piramide do polovišta ivice baze. Visina stranice piramide jednaka je visini okomitoj na bazu.

Visina stranice piramide

Prizma

Prizma je poliedar koji je sastavljen od dva paralelna i identična poligona (baze) spojena paralelogramima (bočne stranice).

Trostrana prizma za svoju bazu ima trougao.

Kvadar je prizma koja za svoju bazu ima pravougaonik.

Trostrana prizma i kvadar

U uspravnoj prizmi bočne stranice se sijeku s bazom pod pravim uglovima. Ako su baze uspravne prizme pravi poligoni, tijelo je pravilna prizma. Uspravna prizma je pravilna prizma jer joj je baza kvadrat.

U kosoj prizmi uglovi između bočnih stranica i baza nisu pravi uglovi.

Uspravna prizma

Kosa prizma

Valjak

Valjak je prizma s kružnom bazom. Njegov plašt je sastavljen od pravougaonika i dva kruga. Širina pravougaonika je visina valjka, a dužina pravougaonika odgovara obimu kruga.

Valjak

Kupa

Kupa je piramida s kružnom bazom. Presjekom kupe vidimo da je njen plašt kružni isječak. Baza kupe je krug poluprečnika ${\displaystyle r}$. Plašt kupe je kružni isječak poluprečnika ${\displaystyle l}$.

Kupa

Kugla

Kugla je savršeno okruglo tijelo. Svaka tačka (${\displaystyle P}$) na površini kugle je jednako udaljena od njenog središta (${\displaystyle O}$). Ova udaljenost je poluprečnik ili radijus (${\displaystyle r}$) kugle.

Kugla

Tlocrt, nacrt i bokocrt

Tlocrt je dvodimenzionalni prikaz tijela gledano odozgo. Nacrt je dvodimenzionalni prikaz tijela gledano od naprijed, dok je bokocrt dvodimenzionalni prikaz tijela gledano sa strane.

Tlocrt, nacrt i bokocrt tijela

Dijagonala

Dijagonala je pravac koji možemo povući između dva vrha nekoga tijela koja ne pripadaju istoj ivici. Tijela imaju jednodimenzionalne dijagonale, koje leže na stranicama, i prostorne dijagonale, koje idu sredinom tijela.

Dijagonale geometrijskog tijela

Mreža

Mreža je dio ravnine koji se sastoji od poligona koji predstavljaju stranice poliedra i od kojih se presavijanjem može napraviti poliedar.

Mreža četverostrane piramide

Reference

^[1][2]

1. Tori Large, Slikovni rječnik matematike - Andromeda d.o.o., Rijeka, 2007.
2. Platonova tijela <https://enciklopedija.hr/>