বেল ধারা

গণিতের ক্ষেত্রে, বেল ধারা হল একটি আনুষ্ঠানিক ঘাতশ্রেণি যা গাণিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয়। বেল ধারা প্রথম এরিক টেম্পল বেল কর্তৃক প্রবর্তিত এবং উন্নত করা হয়।

একটি গাণিতিক ফাংশন ${\displaystyle f}$ এবং একটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$ এর জন্য, বেল ধারা ${\displaystyle f_{p}(x)}$ সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ${\displaystyle p}$ মডুলোতে ${\displaystyle f}$-এর বেল ধারা নামে পরিচিত:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$

যদি দুটি গুণনীয় ফাংশন থাকে, তবে তাদের বেল ধারা সমান হলে প্রমাণ করা যায় যে ফাংশন দুটি অভিন্ন। এটি কখনও কখনও এককত্ব উপপাদ্য (uniqueness theorem) নামে পরিচিত: গুণনীয় ফাংশন ${\displaystyle f}$ এবং ${\displaystyle g}$ এর জন্য, ${\displaystyle f=g}$ তখনই সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি:

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$ সকল মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$-এর জন্য।

দুটি ধারার গুণফলও নির্ধারণ করা যায় (যা কখনও কখনও গুণফল উপপাদ্য বা multiplication theorem নামে পরিচিত): যে কোনও দুটি গাণিতিক ফাংশন ${\displaystyle f}$ এবং ${\displaystyle g}$-এর জন্য, যদি ${\displaystyle h=f*g}$ হয় তাদের ডিরিশলেট কনভলিউশন, তবে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা ${\displaystyle p}$-র জন্য:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

বিশেষত, এটি ডিরিশলেট বিপরীতের বেল ধারা সহজে নির্ধারণ করতে সাহায্য করে।

যদি ${\displaystyle f}$ সম্পূর্ণরূপে গুণনীয় হয়, তবে আনুষ্ঠানিকভাবে:

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}}$

উদাহরণসমূহ

নিম্নে পরিচিত কিছু গাণিতিক ফাংশনের বেল ধারার উদাহরণসমূহ প্রদান করা হলো:

• মোবিয়াস ফাংশন ${\displaystyle \mu }$ এর জন্য ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x}$

• মোবিয়াস ফাংশনের বর্গের জন্য ${\displaystyle \mu _{p}^{2}(x)=1+x}$

• অয়লারের টোশেন্ট ${\displaystyle \varphi }$ এর জন্য ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}}$

• ডিরিশলেট কনভলিউশনের গুণনীয় পরিচয় ${\displaystyle \delta }$ এর জন্য: ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1}$

• লিউভিল ফাংশন ${\displaystyle \lambda }$ এর জন্য ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}}$

• ঘাত ফাংশন ${\displaystyle {\textrm {Id}}_{k}}$ এর জন্য ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}}$ এখানে, ${\displaystyle {\textrm {Id}}_{k}}$, যা সম্পূর্ণরূপে গুণনীয় ফাংশন ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$।

• বিভাজক ফাংশন ${\displaystyle \sigma _{k}}$ এর জন্য ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}}$।

• ধ্রুবক ফাংশনের (যার মান ১) জন্য পূরণ করে ${\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}}$ অর্থাৎ এটি একটি জ্যামিতিক শ্রেণি।

• যদি ${\displaystyle f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)}$, যা মৌলিক ওমেগা ফাংশনের ঘাত নির্দেশ করে, তবে ${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}}$

• ধরুন যে ${\displaystyle f}$ একটি গুণনীয় ফাংশন এবং ${\displaystyle g}$ একটি গাণিতিক ফাংশন, এবং যদি ${\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})}$ সব মৌলিক ${\displaystyle p}$ এবং ${\displaystyle n\geq 1}$ এর জন্য পূর্ণ হয়, তবে ${\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}}$

• যদি ${\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)}$ মোবিয়াস ফাংশনের ${\displaystyle k}$-তম ক্রম নির্দেশ করে, তবে ${\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}}$

সূত্র

• Apostol, Tom M. (১৯৭৬), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Zbl 0335.10001, আইএসবিএন 978-0-387-90163-3, এমআর 0434929 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)