বিটা-মডেল

মডেল তত্ত্বে β-মডেল (ফরাসি:"bon ordre" থেকে উদ্ভূত, যার অর্থ ভাল-অর্ডার^[১]) একটি মডেলকে নির্দেশ করে যা "X ভাল-অর্ডার" এরূপ বিবৃতির ক্ষেত্রে সঠিক। এই শব্দটি মোস্তোস্কি (১৯৫৯)^[২] দ্বারা ω-মডেলের ধারণাটির শক্তিবৃদ্ধি হিসেবে আবিষ্কার করা হয়। অর্ডিন্যাল দ্বারা নামকৃত সেট-তত্ত্বীয় বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য স্বরলিপির বিপরীতে, যেমন ${\displaystyle \xi }$ -অবর্ণনীয়তা, এখানে β অক্ষরটি শুধুমাত্র নির্দেশমূলক।

বিশ্লেষণ

β-মডেলগুলি দ্বিতীয়-অর্ডারের পাটিগণিত উপনিয়মগুলোর বিপরীত গাণিতিকতত্ত্বের অধ্যয়নে প্রদর্শিত হয়। এই প্রসঙ্গে, দ্বিতীয়-ক্রম গাণিতিকের নিয়মের একটি β-মডেল হল একটি মডেল M যেখানে যেকোনো Σ ₁ ¹ সূত্রের জন্য ${\displaystyle \phi }$ M থেকে পরিমিতি সহ, ${\displaystyle (\omega ,M,+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$

যদি, ${\displaystyle (\omega ,{\mathcal {P}}(\omega ),+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$ . ^{[৩] পৃ.147}

দ্বিতীয়-ক্রম গাণিতিকের প্রতিটি β-মডেলও একটি ω-মডেল, যেহেতু মডেলের মধ্যে কাজ করে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে < একটি সু-ক্রম, তাই < আসলেই মডেলের স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির একটি সু-ক্রম।^[২]

β-মডেলের জন্য একটি অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য রয়েছে: যদি T দ্বিতীয়-ক্রমের গণিতের ভাষায় একটি পুনরাবৃত্ত স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব হয়, তাহলে T+ এর একটি মডেলের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণভাবে কিভাবে T+"টি-এর কোনো মডেল নেই" যদি T-এর একটি মডেল থাকে, T+ এর একটি β-মডেল আছে "কোন গণনাযোগ্য মডেল T-এর β-মডেল নেই" যদি এর একটি β-মডেল থাকে T. একটি অনুরূপ উপপাদ্য যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য β _n -মডেলের জন্য ধারণ করে ${\displaystyle n\geq 1}$ .^[৪]

β-মডেলের উপর ভিত্তি করে স্বতঃসিদ্ধ দ্বিতীয়-ক্রম গণিতের নিয়মশক্তির একটি প্রাকৃতিক সূক্ষ্ম বিভাজন প্রদান করে এবং প্রতিফলন নীতিগুলি প্রণয়নের একটি উপায়ও প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, ${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$, ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$ "সকলের জন্য" বিবৃতির সমতুল্য ${\displaystyle X}$ [দ্বিতীয়-ক্রমের সাজানোর], সেখানে একটি গণনাযোগ্য β-মডেলM বিদ্যমান ${\displaystyle X\in M}$ . ^{[৩]পৃ. 253} (গণনাযোগ্য ω-মডেলগুলি তাদের পূর্ণসংখ্যার সেট দ্বারা উপস্থাপিত হয়, এবং তাদের সন্তুষ্টি একটি প্রবর্তক সংজ্ঞা দ্বারা বিশ্লেষণের ভাষায় আনুষ্ঠানিকতাযোগ্য।) তদুপরি, KP তত্ত্বটি একটি পুনরাবৃত্তি মাহলো মহাবিশ্বের জন্য একটি মান্য অক্ষাংশ স্কিমা সহ প্রসারিত হওয়া (যা প্রায়ই KPM নামে পরিচিত)^[৫] তত্ত্বটি Δ₁₂-CA+BI+(প্রত্যেকটি সত্য Π₁₃-ফর্মুলা Δ₁₂-CA এর β-মডেল দ্বারা পূর্ণ হয়) তত্ত্বটির যৌক্তিক সমমান।

উপরন্তু, ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$ β-মডেল এবং হাইপারজাম্পের মধ্যে একটি সংযোগ প্রমাণ করে: সমস্ত সেটের জন্য ${\displaystyle X}$ পূর্ণসংখ্যার, ${\displaystyle X}$ একটি হাইপারজাম্প আছে যদি একটি গণনাযোগ্য β-মডেল বিদ্যমান থাকে ${\displaystyle M}$ যেমন ${\displaystyle X\in M}$ . ^{[৩]পৃ. 251}

বোঝার প্রতিটি β-মডেল প্রাথমিকভাবে একটি ω-মডেলের সমতুল্য যা একটি β-মডেল নয়।^[৬]

সেট তত্ত্ব

একটি β-মডেলের ধারণা দ্বিতীয়-অর্ডার সেট তত্ত্বগুলির মডেলগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (যেমন মর্স-কেলি সেট তত্ত্ব) একটি মডেল হিসেবে, যার মধ্যে এর সদস্যতা সম্পর্কগুলি ভালভাবে প্রতিষ্ঠিত এবং যেকোনো সম্পর্ক , "R ভালভাবে প্রতিষ্ঠিত" যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রকৃতপক্ষে ভালভাবে প্রতিষ্ঠিত হয়। যেখানে MK-এর কোনো ন্যূনতম স্থানান্তরিত মডেল নেই, সেখানে MK-এর একটি ন্যূনতম β-মডেল বিদ্যমান।^[৭]

তথ্যসূত্র

1. Smoryński, C. (১৯৮৫-০১-০১)। Harrington, L. A.; Morley, M. D.; Sĉêdrov, A.; Simpson, S. G., সম্পাদকগণ। Nonstandard Models and Related Developments। Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics। 117। Elsevier। পৃষ্ঠা 179–229। 
2. Apt, K. R.; Marek, W. (১৯৭৪-০৩-০১)। "Second order arithmetic and related topics"। Annals of Mathematical Logic। 6 (3): 177–229। আইএসএসএন 0003-4843। ডিওআই:10.1016/0003-4843(74)90001-1। 
3. Simpson, Stephen George (২০০৯-০৫-২৯)। Subsystems of Second Order Arithmetic (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-88439-6। 
4. C. Mummert, S. G. Simpson। "An Incompleteness Theorem for βn-Models" (পিডিএফ)। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-১২-২০। 
5. "Admissible proof theory and beyond" (পিডিএফ)। Logic, Methodology and Philosophy of Science IX। 
6. Mostowski, Andrzej; Suzuki, Y. (১৯৬৯)। "On ω-models which are not β-models"। Fundamenta Mathematicae। 65 (1): 83–93। আইএসএসএন 0016-2736। 
7. K. J. Williams (২০১৮)। "The Structure of Models of Second-order Set Theories" (পিডিএফ)। PhD thesis।