ফ্যাক্সেন অন্তরকল

গণিতে ফ্যাক্সেন অন্তরকল (ফ্যাক্সেন অপেক্ষক নামেও পরিচিত) হলো নিম্নোক্ত যোগজীকরণ^[১]

${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-t+xt^{\alpha })t^{\beta -1}\mathrm {d} t,\qquad (0\leq \operatorname {Re} (\alpha )<1,\;\operatorname {Re} (\beta )>0).}$

যোগজীকরণটি সুইডিশ পদার্থবিদ হিল্ডিং ফ্যাক্সেনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি ১৯২১ সালে তার পিএইচডি থিসিসে এটি প্রকাশ করেছিলেন।

n-মাত্রিক ফ্যাক্সেন যোগজীকরণ

আরও সাধারণভাবে একে নিম্নোক্ত ${\displaystyle n}$-মাত্রিক ফ্যাক্সেন যোগজীকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:^[২]

${\displaystyle I_{n}(x)=\lambda _{n}\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }t_{1}^{\beta _{1}-1}\cdots t_{n}^{\beta _{n}-1}e^{-f(t_{1},\dots ,t_{n};x)}\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n},}$

সঙ্গে

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n};x):=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{j}^{\mu _{j}}-xt_{1}^{\alpha _{1}}\cdots t_{n}^{\alpha _{n}}\quad }$ এবং ${\displaystyle \quad \lambda _{n}:=\prod \limits _{j=1}^{n}\mu _{j}}$

জন্য ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ এবং

${\displaystyle (0<\alpha _{i}<\mu _{i},\;\operatorname {Re} (\beta _{i})>0,\;i=1,\dots ,n).}$

প্যারামিটার ${\displaystyle \lambda _{n}}$ শুধুমাত্র গণনার সুবিধার্থে ধরা হয়েছে।

বৈশিষ্ট্য

ধরা যাক ${\displaystyle \Gamma }$ গামা অপেক্ষককে নির্দেশ করে, তাহলে

• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;0)=\Gamma (\beta ),}$
• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (0,\beta ;x)=e^{x}\Gamma (\beta ).}$

${\displaystyle \alpha =\beta ={\tfrac {1}{3}}}$ এর জন্য স্কোরার অপেক্ষকের সাথে এর নিম্নোক্ত সম্পর্ক রয়েছে

${\displaystyle \operatorname {Fi} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}};x)=3^{2/3}\pi \operatorname {Hi} (3^{-1/3}x).}$

অসীমতট

${\displaystyle x\to \infty }$ এর জন্য আমাদের নিম্নোক্ত উপসর্গ রয়েছে^[৩]

• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;-x)\sim {\frac {\Gamma (\beta /\alpha )}{\alpha y^{\beta /\alpha }}},}$
• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)\sim \left({\frac {2\pi }{1-\alpha }}\right)^{1/2}(\alpha x)^{(2\beta -1)/(2-2\alpha )}\exp \left((1-\alpha )(\alpha ^{\alpha }y)^{1/(1-\alpha )}\right).}$

তথ্যসূত্র

1. Olver, Frank W. J. (১৯৯৭)। Asymptotics and Special Functions। A K Peters/CRC Press। পৃষ্ঠা ৩৩২। আইএসবিএন 978-0-429-06461-6। ডিওআই:10.1201/9781439864548। 
2. Paris, Richard Bruce (২০১০)। "Asymptotic expansion of n-dimensional Faxén-type integrals" (৬)। A K Peters/CRC Press: 1006–1031। 
3. Kaminski, David; Paris, Richard B. (১৯৯৭)। "Asymptotics via iterated Mellin–Barnes integrals: Application to the generalised Faxén integral": ৩১১–৩২৫। ডিওআই:10.4310/MAA.1997.v4.n3.a5।