ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ a² + b² = c².

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ (ইংরেজি: Diophantine equation) হল একধরনের অনির্দিষ্ট বহুপদী সমীকরণ যার চলরাশি কেবলমাত্র পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যায় সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের চেয়ে কম থাকে। ডায়োফ্যান্টাইন শব্দটি প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ ডায়োফ্যান্টাস-এর নাম থেকে এসেছে। ডায়োফ্যান্টাস কর্তৃক সূচিত ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যার গাণিতিক পর্যালোচনা এখন ডায়োফ্যান্টাইন বিশ্লেষণ নামে পরিচিত। রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে, শূন্য অথবা এক মাত্রার দুইটি একপদীর সমষ্টি থাকে।

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের উদাহরণ

ax + by = 1: এটি বিজোড় অভেদ এবং একটি রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ।

x^n + y^n = z^n: n = 2 এর জন্য অগুনতি সমাধান (x,y,z) রয়েছে, যারা পিথাগোরীয় ত্রয়ী নামে পরিচিত। n এর উচ্চতর মানের জন্য, ফের্মার শেষ উপপাদ্য অনুসারে, কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বিশিষ্ট সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়।

x^2 - ny^2 = 1: পেল সমীকরণ

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}y^{n-i}}=c}$, যেখানে, ${\displaystyle n\geq 3}$ এবং ${\displaystyle c\not =0}$: এরা হল থ্যু সমীকরণ এবং সাধারণত সমাধানযোগ্য।

রৈখিক ডায়োফন্টাইন সমীকরণ

${\displaystyle ax+my=b}$ ......................(1)

আকারের সমীকরণকে রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বলে। এখানে a,b,m∈ℕ. এই সমীকরণের পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি

${\displaystyle d|b}$ হয়। যেখানে, ${\displaystyle d=gcd(a,m)}$।

এবং এক্ষেত্রে সকল সমাধানের সাধারণ রূপ মূলত দুই ধরনের হয়ে থাকেঃ

${\displaystyle x=x_{0}+{\dfrac {m}{d}}n}$,

${\displaystyle y=y_{0}-{\dfrac {a}{d}}n}$

এবং ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ হল যেকোনো দুটি সংখ্যা যারা সমীকরণ (1) কে সিদ্ধ করে; যেখানে n∈I।

${\displaystyle x=x_{0}-mt}$,

${\displaystyle y=y_{0}-at}$

এবং ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ হল যেকোনো দুটি সংখ্যা যারা সমীকরণ (1) কে সিদ্ধ করে; যেখানে ${\displaystyle t}$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

আবার, ${\displaystyle x=x_{0},ax+my_{0}=b}$ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণকে সিদ্ধ করে এবং (a,m)=1 হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

${\displaystyle y_{0}}$ এর জন্য এটি নিচের অনুসমতাকেও সিদ্ধ করে,

${\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}},\,}$, (a,m)=1