অধিবৃত্ত

অধিবৃত্ত

অধিবৃত্ত^[ক] বা হাইপারবোলা হচ্ছে একধরনের কণিক যেখানে উৎকেন্দ্রীকতা (e)-এর মান ১ এর বড়। একই অক্ষ ও একই শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট দুইটি ফাঁপা কোনককে একটি সমতল দ্বারা কাটলে যে বক্ররেখাদ্বয় পাওয়া যায় তাকে অধিবৃত্ত বলে। সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল হওয়া জরুরি নয়। একটি অধিবৃত্ত বলতে একই সমতলে অবস্থিত দুইটি বক্ররেখাকেই বুঝায়। এদের একটি অপরটির দর্পণ প্রতিচ্ছবি।

অধিবৃত্ত (লাল রঙে)

গাণিতিক সংজ্ঞা

কার্তেসীয় সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক, তাদের সেট একটি সঞ্চারপথ এবং তাকে কনিক বলা হয়।

আরেকটি সংজ্ঞাঃ উপকেন্দ্র ও দিকাক্ষ (নিয়ামক) থেকে যে চলমান বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত ১ অপেক্ষা বড়ো একটি ধ্রুবক, তার সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বা Hyperbola বলে। এক্ষেত্রে e>1, এখানে e= eccentricity বা উৎকেন্দ্রতা।

সমীকরণ

যদি কোন অধিবৃত্তের পরাক্ষকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে X-অক্ষ বরাবর ধরা হয়,

নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$,^[১]

শীর্ষবিন্দু দুটি হবে ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$.^[১]

কোনো বিন্দু ${\displaystyle (x,y)}$ এর দুটি নাভি থেকে দূরত্ব হবে যথাক্রমে ${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ও ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$। তবে ${\displaystyle (x,y)}$ বিন্দু টি অধিবৃত্তে অবস্থান করবে যদি

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ }$ হয়

উভয়পক্ষে বর্গ করে বর্গমূল চিহ্ন তুলে দেওয়ার পর ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$ সম্পর্ককে কাজে লাগিয়ে পাওয়া যায়:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ }$

এটিই অধিবৃত্তের সমীকরণ।

উৎকেন্দ্রতা

${\textstyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

নাভিলম্ব

কোন একটি নাভির মধ্যে দিয়ে অন্তর্গত অধিবৃত্তের একটি জ্যা যা পরাক্ষের উপর লম্বভাবে অবস্থিত তাকে নাভিলম্ব (Latus rectum) বলে। ইহার দৈর্ঘ্য:

${\displaystyle p={\frac {2b^{2}}{a}}}$

প্রাচলিক সমীকরণ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ }$

এই সমীকরণ প্রচলের (বা প্যারামিটার) সাহায্যে নিম্নলিখিত আকারেও লেখা যায়:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {(2n-1)}{2}}\pi }$

আরও দেখুন

• কনিক
• পরাবৃত্ত
• উপবৃত্ত
• বৃত্ত

টীকা

1. পশ্চিমবঙ্গের পাঠ্যপুস্তকে হাইপারবোলা তথা অধিবৃত্তকে পরাবৃত্ত লেখা হয়ে থাকে।

তথ্যসূত্র

1. Protter & Morrey (1970, p. 310)

• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (১৯৭০), College Calculus with Analytic Geometry (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, এলসিসিএন 76087042 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)