Формула на Моавър

В математиката Формулата на Моавър се отнася за всяко комплексно число (следователно и за всички реални числа) x и степенен показател n и гласи, че:

${\displaystyle {\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$

където i е имагинерната единица, за която i²= −1. Формулата е кръстена на френския математик Абрахам дьо Моавър. Изразът cos(x) + i sin(x) може да се изписва и като cis(x).

Формулата свързва комплексните числа с тригонометричните функции. Чрез разкриване на лявата страна на равенството и след сравняване на реалните и имагинерните части при предположението, че х е реално, могат да бъдат изразени cos(nx) и sin(nx) чрез cos(x) и sin(x).

Доказателство

Формулата на Моавър може да бъде доказана чрез формулата на Ойлер, макар и хронологически да е измислена по-рано:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

и чрез свойството на степените:

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}$

Тогава, по формулата на Ойлер:

${\displaystyle e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.}$

Следователно ${\displaystyle {\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

Коренуване на комплексни числа

Формулата на Моавър може да бъде използвана за намирането на корен n-ти от някакво комплексно число.

Ако z е комплексно число, то тогава то може да бъде записано като:

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

Тогава корен n-ти от z се изчислява като:

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

Където k е число между 0 и n − 1.

Тази формула понякога също е наричана формула на Моавър.

Източници

• Учебник по математика за 12 клас за профилирана подготовка, издателство „Просвета“.