Област на определение на функция

Илюстрация на f, функция от розовата област X в синята кообласт Y. Жълтият овал в Y е образът на f.

В математиката, област на определение на функция (също дефиниционна област и дефиниционно множество) е множество от стойности на аргумента, за които дадена функция е определена. Тоест, функцията има определена стойност за всеки елемент от областта.^[1] Множеството от стойности, които се получават от дадената функция, се нарича образ на функцията.

Например, областта на определение на косинуса е множеството на всички реални числа, докато областта на квадратния корен включва само числа, по-големи или равни на нула (и в двата случая не се вземат предвид комплексните числа).

Ако дефиниционното множество на функция е подмножество на реалните числа, а функцията е представена в Декартови координати, тогава областта се изразява върху оста x.

Определение

За дадена функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, множеството ${\displaystyle X}$ е областта на ${\displaystyle f}$, а множеството ${\displaystyle Y}$ е кообластта на ${\displaystyle f}$. В израза ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x}$ е аргументът, а ${\displaystyle f(x)}$ е стойността. Аргументът може да се приеме за елемент от областта, който е избран за „вход“ на функцията, а стойността като „изход“, когато функцията се приложи върху въпросния елемент от областта.

Образът на ${\displaystyle f}$ е множеството от всички стойности, които ${\displaystyle f}$ може да приеме за всички възможни ${\displaystyle x}$. Това е множеството ${\displaystyle \left\{f(x)|x\in X\right\}}$. Образът на ${\displaystyle f}$ може да е същият като кообластта или да е нейно собствено подмножество. Той е цялата подобласт тогава и само тогава, когато ${\displaystyle f}$ е сюрективна функция, като във всички останали случаи е по-малък.

Една добре дефинирана функция трябва да съпоставя всеки елемент от областта си към елемент от кообластта си. Например, функцията ${\displaystyle f}$, дефинирана

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

няма стойност за ${\displaystyle f(0)}$. Следователно, множеството на всички реални числа (${\displaystyle \mathbb {R} }$) не може да бъде нейното дефиниционно множество. В такъв случай, функцията се дефинира в ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ или пролуката се запълва чрез изрично дефиниране на ${\displaystyle f(0)}$. Ако дефиницията на ${\displaystyle f}$ се разшири до функцията на части

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}}$

тогава f е дефинирана за всички реални числа и областта ѝ на определение е ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Всяка функцията може да се ограничи до подмножество от областта си. Ограничението на ${\displaystyle g\colon A\to B}$ до ${\displaystyle S}$, където ${\displaystyle S\subseteq A}$, се изразява като ${\displaystyle \left.g\right|_{S}\colon S\to B}$.

Източници

1. Paley, Hiram, Weichsel, Paul M. A First Course in Abstract Algebra. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1966. с. 16.