Мултипликативна функция

Мултипликативна функция в теорията на числата е аритметична функция ${\displaystyle f(n)}$, дефинирана върху множеството на естествените числа, която има свойството, че ${\displaystyle f(1)=1}$ и ако ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ са взаимно прости, то

$${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b).}$$

Аритметичната функция ${\displaystyle f(n)}$ се нарича напълно (изцяло) мултипликативна ако f(1) = 1 и f(ab) = f(a) f(b) за всички естествени числа a и b, дори и когато не са взаимно прости.

Извън теорията на числата, понятието мултипликативен обикновено се използва за функции за които f(ab) = f(a) f(b) за всички параметри a и b; тогава или f(1) = 1, или f(a) = 0 за всички a освен a = 1. Тази статия се отнася за теоретико-числовите мултипликативни функции.

Свойства на аритеметичните мултипликативни функции

Лема. Мултипликативните функции се определят еднозначно от техните стойности за простите числа.

Лема. ${\displaystyle f(n)\,}$ е мултипликативна тогава и само тогава, когато и

${\displaystyle g(n)=\sum _{a|n}f(a)\,}$

е мултипликативна функция.

Лема. Ако ${\displaystyle f_{1}(n)\,}$ и ${\displaystyle f_{2}(n)\,}$ са мултипликативни, то и тяхната конволюция

${\displaystyle (f_{1}*f_{2})(n)=\sum _{a|n}f_{1}(a)f_{2}\left({\frac {n}{a}}\right)\,}$

е също мултипликативна.

Тази статия за функция все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.