Модел на Томас-Ферми

Моделът на Томас-Ферми е квантово-механично описание на структурата на сложни атоми, използващо функционали на електронната плътност, за разлика от класическата вълнова (матрична) квантова механика. Наречен е по името на своите създатели – британския физик Люелин Томас (Llewellyn Hilleth Thomas) и италианския физик Енрико Ферми^[1][2], които го разработват независимо един от друг през 1927 г. Това е първият модел от множеството статистически теории за функционала на плътността, разработени впоследствие. Тази съвкупност от статистически модели, наречени с общото име теория за функционала на плътността (англ. Density Functional Theory, DFT) e изключително удобна за практически изчисления на структурата на многочастични квантови системи, за които точното решаване на уравнението на Шрьодингер е практически непосилна задача дори за съвременните компютри, ако броят на частиците в системата е повече от няколкостотин.

Броят електрони в обем ΔV от импулсното пространство се задава с:

${\displaystyle \Delta N=n({\vec {r}})\ \Delta V}$

където ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ е електронната плътност.

Чрез интегриране до нивото на Ферми се получават следните функционали за кинетичната и потенциалната енергии на електроните, изразени чрез електронната плътност (която е функция на координатите):

${\displaystyle T=C_{F}\int [n({\vec {r}})]^{5/3}\ d^{3}r\ }$

${\displaystyle U_{eN}=\int n({\vec {r}})\ V_{N}({\vec {r}})\ d^{3}r\,}$

където ${\displaystyle V_{N}({\vec {r}})\,}$ е потенциалната енергия на електрона в точка ${\displaystyle {\vec {r}}\,}$. За атом с Z на брой протони тя е:

${\displaystyle V_{N}({\vec {r}})={\frac {-Ze^{2}}{r}}}$

където е е елементарният заряд на електрона, а интеграционната константа се получава от условието за нормализация:

${\displaystyle C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

Потенциалната енергия на електроните, дължаща се на взаимодействието помежду им, e:

${\displaystyle U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.}$

Пълната енергия на електроните е сума от техните кинетична и потенциална енергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r}})]^{5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r}})\ V_{N}({\vec {r}})\ d^{3}r\ +\ {\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'\\\end{aligned}}}$

Въпреки че е важна стъпка към разработването на бъдещата теория за функционала на плътността, моделът на Томас-Ферми е неточен за практически изчисления поради приближенията в израза за кинетичната енергия и неотчитане на обменното взаимодействие между електроните, дължащо се на принципа на Паули. През 1928 г. Пол Дирак добавя израз за обменната енергия към уравненията.

Източници

1. Thomas, L. H. The calculation of atomic fields // Proc. Cambridge Phil. Soc. 23 (5). 1927. DOI:10.1017/S0305004100011683. с. 542 – 548.
2. Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo // Rend. Accad. Naz. Lincei 6. 1927. с. 602 – 607.