Равнина (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на Равнина.

---

Две пресичащи се равнини в триизмерното пространство.

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

• три точки, нележащи на една права
• права и точка, нележаща на правата
• точка и права, перпендикулярна на равнината
• две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Равнина, определена от точка и нормален вектор

За точката ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ и вектора ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b,c)}$, уравнението на равнината изглежда така:

${\displaystyle ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}}$

за равнината, минаваща през т. ${\displaystyle P_{0}}$ и перпендикулярна на вектора ${\displaystyle {\vec {n}}}$.

Равнина, определена от 3 точки

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$, ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ и ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ може да бъде представено по следния начин:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0}$

Разстояние от точка до равнина

За точката ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ и равнината ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, разстоянието от ${\displaystyle P_{1}}$ до равнината е:

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Ъгъл между две равнини

Ъгълът между равнините ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ и ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$ е

${\displaystyle \cos {(\alpha )}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$.