Питагоров триъгълник

Питагоров триъгълник е правоъгълен триъгълник, на който дължините на страните са цели числа. Такъв е например триъгълникът с дължини на страните 3, 4 и 5 (наричан също египетски триъгълник):

Анимация, показваща
най-малката Питагорова тройка 3² + 4² = 5².

3² + 4² = 5²

От Питагоровата теорема следва, че всички питагорови триъгълници съответстват на решенията в естествени числа на уравнението:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

(1)

Решенията на уравнението (1) се наричат питагорови тройки. Когато числата в питагорова тройка са взаимно прости, тя се нарича примитивна; например тройката 6,8,10 не е примитивна тъй като 2 е техен общ делител. За числа по малки от 100 има 16 примитивни питагорови тройки:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Общо решение

Нека ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ са взаимно прости естествени числа и ${\displaystyle u>v}$. Тогава числата:

${\displaystyle x=u^{2}-v^{2}}$

${\displaystyle y=2uv}$

${\displaystyle z=u^{2}+v^{2}}$

са решение на уравнението (1) и всяко примитивно решение може да получи по гореописания начин.

Дължини на страните и хипотенузата в някои примитивни питагорови триъгълници:

• 5² + 12² = 13²
• 7² + 24² = 25²
• 8² + 15² = 17²
• 9² + 40² = 41²

Бергрен^[1] е показал, че всички примитивни питагорови тройки могат да бъдат получени от най-малката, (3, 4, 5), използвайки три линейни пробразувания T₁, T₂, T₃:

	нова страна a	нова страна b	нова страна c
T1:	a − 2b + 2c	2a − b + 2c	2a − 2b + 3c
T2:	a + 2b + 2c	2a + b + 2c	2a + 2b + 3c
T3:	−a + 2b + 2c	−2a + b + 2c	−2a + 2b + 3c

Така, започвайко с a = 3, b = 4, и c = 5, T₁ задава новата тройка:

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13), и аналогичноT₂ и T₃ задават съответно (21, 20, 29) и (15, 8, 17).

Вижте също

• Питагор
• Теорема на Питагор
• Питагорова четворка

Бележки

1. Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi, 17: 129–139

Тази статия за геометричен обект все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.