Питагорова теорема

Питагоровата теорема: сборът от площите на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на площта на квадрата със страна хипотенузата

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,}$,

където ${\displaystyle c}$ е дължината на хипотенузата, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ са дължините на двата катета.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570 – 495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване,^[2][3] въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.^[4]

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация.^[5][6] Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите – на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи.^[7] Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Доказателства

Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.^[8]

Доказателство с подобни триъгълници

Схема 1: Доказателство с използване на подобни триъгълници

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника – съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$ е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха ${\displaystyle C}$, както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха ${\displaystyle C}$, като нейната пресечна точка със страната ${\displaystyle AB}$ е точката ${\displaystyle H}$. ${\displaystyle H}$ разделя хипотенузата на триъгълника с дължина ${\displaystyle C}$ на части с дължини ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle e}$. Новообразуваният триъгълник ${\displaystyle ACH}$ е подобен на триъгълника ${\displaystyle \triangle ABC}$, защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха ${\displaystyle A}$ е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с ${\displaystyle \ni }$, са равни. По същия начин триъгълникът ${\displaystyle \triangle CBH}$ също е подобен на ${\displaystyle \triangle ABC}$. От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {e}{a}}}$ и ${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {d}{b}}}$

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

${\displaystyle a^{2}=c\times e}$ и ${\displaystyle b^{2}=c\times d}$

При събиране на двете уравнения се получава:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times e+c\times d=c\times (d+e)=c^{2}}$

Този израз съвпада с питагоровата теорема:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!}$

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.^[6][9]

Доказателство на Евклид

Доказателство на Евклид

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47^[10]

Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$ е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза ${\displaystyle BC}$. Построяваме квадратите ${\displaystyle \square ACIH}$, ${\displaystyle \square ABFG}$ и ${\displaystyle \square BCED}$ от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на ${\displaystyle \square BCED}$ е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра ${\displaystyle AL}$ от точката ${\displaystyle A}$ към правата ${\displaystyle DE}$. Нека той пресича правата ${\displaystyle BC}$ в точката ${\displaystyle K}$. Построяваме също отсечките ${\displaystyle CF}$ и ${\displaystyle AD}$.

Ъгълът ${\displaystyle \angle CBF}$ е равен на сумата на ъглите ${\displaystyle \angle ABC+\angle ABF}$. Аналогично, ${\displaystyle \angle ABD}$ е равен на сумата на ${\displaystyle \angle ABC+\angle CBD}$. Тъй като ъглите ${\displaystyle \angle ABF}$ и ${\displaystyle \angle CBD}$ са прави, а следователно и равни, следва, че ${\displaystyle \angle ABD}$ е равен на ${\displaystyle \angle CBF}$. Освен това отсечките ${\displaystyle BF=BA}$, тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично, ${\displaystyle BD=BC}$. От там следва, че триъгълниците ${\displaystyle \triangle ABD\cong \triangle CBF}$ са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника ${\displaystyle S_{\triangle ABD}={\frac {1}{2}}S_{KBDL}}$, тъй като ${\displaystyle KB}$ е равна на височината към страната ${\displaystyle BD}$ в ${\displaystyle \triangle ABD}$. Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури

Доказателство на питагорова теорема

Даден е квадрат със страна ${\displaystyle c^{2}}$. В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Полученият по средата квадрат е със страна ${\displaystyle a-b}$. Лицето на големия квадрат е ${\displaystyle c^{2}}$ и е равно на лицата на триъгълниците ${\displaystyle 4.ab/2}$ + лицето на малкия квадрат ${\displaystyle (a-b)^{2}}$:

${\displaystyle c^{2}=2ab+(a-b)^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Доказателство на Гарфийлд

Доказателство на Гарфийлд

Доказателството е публикувано през 1876 г., от Джеймс Гарфийлд (по това време депутат, а впоследствие президент на САЩ)^[11][12] като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b)

А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c²/2

Тоест (a+b)²/2 = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 + ab = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 = c²/2

a² + b² =c²

Следствия и употреби

Питагорова тройка

Питагорова тройка представляват три положителни цели числа a, b и ${\displaystyle c}$, такива че a² + b² = ${\displaystyle c}$². С други думи питагорова тройка представляват дължините на страните на правоъгълен триъгълник, чиито дължини на страните са от множесвото на целите числа. Такава тройка често бива записвана като (a, b, ${\displaystyle c}$). Известни примери са (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Следва списък на някои питагорови тройки, за които a, b и ${\displaystyle c}$ са по-малки от 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Питагорово тригонометрично тъждество

В правоъгълен триъгълник със страни a, b и хипотенуза ${\displaystyle c}$ тригонометрията определя синуса и косинуса на ъгъла θ между страна a и хипотенузата като:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

От тук следва:

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

където последната стъпка прилага теоремата на Питагор. Тази връзка между синус и косинус понякога се нарича основна питагорово-тригонометрична идентичност. В подобни триъгълници съотношенията на страните са еднакви независимо от размера на триъгълниците и зависят от ъглите.

Източници

1. Sally, Judith D. et al. Chapter 3: Pythagorean triples // Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore, 2007. ISBN 0821844032. p. 63. (на английски)
2. Allman, George Johnston. Greek Geometry from Thales to Euclid. Kessinger Publishing LLC, 2005, [1889]. ISBN 143260662X. p. 26. (на английски)
3. Heath 1921, с. 144.
4. Neugebauer, Otto. The exact sciences in antiquity. Courier Dover Publications, 1969. ISBN 0486223329. p. 36. (на английски)
5. Dantzig, Tobias. The bequest of the Greeks. Charles Scribner's Sons, 1955. p. 97. (на английски)
6. Maor 2007, с. 39.
7. Allman, GJ. The Encyclopaedia Britannica: A Dictionary of Arts, Sciences, and General Literature, Volume 20. 9th. H.G. Allen, 1888. p. 142. (на английски)
8. Loomis 1968.
9. Hawking, Stephen W. God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia, Running Press Book Publishers, 2005. ISBN 0762419229. p. 12. (на английски)
10. aleph0.clarku.edu
11. Published in a weekly mathematics column: James A Garfield. {{{title}}} // The New England Journal of Education 3. 1876. с. 161. as noted in William Dunham. The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities. Wiley, 1997. ISBN 0-471-17661-3. с. 96. and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 Архив на оригинала от 2010-07-14 в Wayback Machine. by V. Frederick Rickey
12. Prof. David Lantz' animation Архив на оригинала от 2013-08-28 в Wayback Machine. from his web site of animated proofs

Цитирана литература

• Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics, Vol. I. Dover Publications, 1981, [1921]. ISBN 0-486-24073-8. (на английски)
• Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean proposition. 2nd. The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. ISBN 978-0873530361. (на английски)
• Maor, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-12526-8. (на английски)

Външни препратки

• 81 доказателства на теоремата