Линейно пространство

Събиране на вектори и умножение на вектор със скалар: вектор v (в синьо) се добавя към друг вектор w (в червено, горе). Долу w се удължава с коефициент 2, при което се получава сборът v + 2w.

Линейно пространство (или векторно пространство) в математиката е съвкупност от обекти (наричани вектори), които могат да бъдат умножавани с число или събирани. По-точно линейно пространство е множество, за което са дефинирани две операции, наричани (векторно) събиране и умножение с число, и които изпълняват няколко естествени аксиоми, описани по-долу. Линейните пространства са основният обект, с който се занимава линейната алгебра и имат широко приложение в математиката, природните и инженерните науки.

Най-познатите линейни пространства са двумерните и тримерните евклидови пространства. Векторите в тези пространства са наредени двойки или тройки от реални числа и често се представят с помощта на насочени отсечки. Тези вектори могат да бъдат събирани, използвайки правилото на успоредника, или умножавани с реални числа. Поведението им под действието на горните операции дава добър интуитивен модел за поведението на вектори в по-общи линейни пространства, които не е нужно да имат геометрична интерпретация. Например множеството на полиномите с реални коефициенти образува линейно пространство.

Формална дефиниция

Нека F е поле, чиито елементи ще наричаме числа или скалари (например реалните или комплексните числа). Нека също V е непразно множество, чиито елементи ще наричаме вектори. Нека във V са въведени операциите:

• събиране на вектори, която на всеки два вектора v и w съпоставя вектор, който се означава с v + w и
• умножение на вектор с число, която на вектора v и числото λ съпоставя вектор, който се означава с λv.

Казваме, че V е линейно пространство над полето F, ако за така дефинираните операции са изпълнени следните аксиоми:

1. Събирането е асоциативно:

   ако u, v, w ∈ V, то u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Събирането е комутативно:

   ако v, w ∈ V, то v + w = w + v.

3. Съществува вектор 0∈V, за който:

   v + 0 = v за всеки вектор v.

   Този елемент се нарича нулев вектор и може да се докаже, че е единствен.
4. За всеки вектор v съществува вектор w, за който е изпълнено:

   За всяко v + w = 0.

   w се нарича противоположен на v, отбелязва се с -v и също може да се докаже, че е единствен.
5. За всеки два вектора v и w и за всяко число λ е изпълнено:

   λ (v + w) = λ v + λ w.

6. За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:

   (λ + μ) v = λ v + μ v.

7. За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:

   λ (μ v) = (λμ) v.

8. За всеки вектор v е изплълнено:

   1 v = v, където с 1 означаваме единичния елемент на F.

Формално тези аксиоми съвпадат с аксиомите за модул, така че линейно пространство може да се дефинира като модул над поле. Следователно векторните пространства са пример за модули.

Елементарни свойства

Следните свойства следват лесно от аксиомите за линейно пространство:

• Нулевият вектор 0 ∈ V е единствен:

  Ако за 0₁∈ V е изпълнено 0₁ + v = v за всеки вектор v ∈ V, то 0₁ = 0.

• Резултатът от умножаване на нулевия вектор с число е нулевият вектор:

  За всяко λ ∈ F имаме λ 0 = 0.

• При умножение на вектор с числото 0 се получава нулевият вектор:

  За всеки v ∈ V е вярно 0 v = 0.

• В никой друг случай при умножение на вектор с число не се получава нулевият вектор:

  λ v = 0 тогава и само тогава, когато λ = 0 или v = 0.

• Противоположният вектор −v на вектора v е единствен:

  Ако w₁ и w₂ са противоположни на v, тоест v + w₁ = 0 и v + w₂ = 0, то w₁ = w₂. Противоположният вектор се означава с −v. С негова помощ се дефинира разлика на два вектора: w − v ≡ w + (−v).

• При умножение на вектор с -1 се получава противоположният му вектор:

  За всеки v ∈ V е изпълнено (−1) v = −v.

• Операцията отрицание комутира:

  За всяко число λ ∈ F и всеки вектор v ∈ V е изпълнено (−λ) v = λ (−v) = − (λ v).

Примери

Най-простият пример за линейно пространство над произволно поле е пространството, съдържащо само нулевия елемент – {0}. Също така полето F е линейно пространство над себе си – лесно се проверява, че аксиомите са изпълнени за стандартните действия събиране и умножение (например множеството на реалните числа е линейно пространство над себе си).

Един от най-важните примери за линейно пространство е координатното пространство, дефинирано по следния начин: Нека F е поле, а n е естествено число. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с Fⁿ, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин: Нека

${\displaystyle x:=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\ ,y:=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$

са елементи на Fⁿ, където x_i и y_i са числа от F. Нека още λ∈ F. Дефинираме

${\displaystyle x+y:=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})\,}$,

${\displaystyle \lambda x:=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})\,}$

Тези операции изпълняват горните аксиоми, като нулевият елемент е

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots 0),}$

а противоположният на x е

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})}$.

Най-голямо приложение намират реалното координтатно пространство Rⁿ (особено R² и R³) и комплексното координтатно пространство Cⁿ.

Друг пример е множеството на всички полиноми на една променлива с реални коефициенти. Там събирането и умножението по число са дефинирани по стандартния начин, а нулевият елемент е полиномът P(x)≡0. Множеството на всички функции, дефинирани над фиксирано множество и приемащи стойности в множеството на реалните числа, е линейно пространство над полето на реалните числа.

Подпространство и базис

При дадено линейно пространство V непразно подмножество W на V се нарича линейно подпространство, ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на V са самите линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства, съдържащи дадено множество вектори, се нарича линейна обвивка на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са линейно независими. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство, се нарича базис. Например в R³ множеството

${\displaystyle A=\{(0,x,y)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$

е линейно подпространство на R³. Множеството ${\displaystyle \{(0,1,0),(0,0,1)\}}$ е линейно независимо, докато ${\displaystyle \{(0,1,0),(0,0,1),(0,0,2)\}}$ не е, защото линейната обвивка и на двете множества е множеството A. Един възможен базис на R³ е множеството ${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$.

Всички базиси на едно линейно пространство са равномощни. Ако линейното пространство има краен базис, то се нарича крайномерно, а броят на елементите в базиса се нарича размерност на пространството. Така например R³ е крайномерно пространство с размерност 3. По-общо всички координатни пространства Fⁿ са крайномерни с размерност n. Когато базисът има безкраен брой елементи, пространството се нарича безкрайномерно. Такива например са пространствата на полиноми и функции, дефинирани по-горе. Пример за базис на пространството от полиниоми на една променлива е множеството ${\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},...,x^{n},...\}}$, което е безкрайно.

Базисът дава възможност всеки вектор да се изрази чрез наредена n-орка числа, наричана координати на вектора, спрямо фиксирания базис. Например спрямо базиса ${\displaystyle \{(1,1,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}}$, векторът ${\displaystyle (1,2,3)}$ има за координати числата 1, 1 и 3, защото

${\displaystyle (1,2,3)=1(1,1,0)\ +\ 1(0,1,0)\ +\ 3(0,0,1)}$.

Линейни изображения

Линейно изображение е изображение, между две (може и съвпадащи) линейни пространства над едно и също поле, което запазва тяхната структура. По-точно нека V и W са линейни пространства над полето F, а ${\displaystyle l:V\rightarrow W}$ e функция. Казваме, че l е линейно изображение, ако за произволни вектори u, v ∈ V и произволно число λ ∈ F е изпълнено:

${\displaystyle l(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=l(\mathbf {u} )+l(\mathbf {v} )}$ и

${\displaystyle l(\lambda \mathbf {u} )=\lambda l(\mathbf {u} )}$.

Множеството на всички линейни изображения от V в W също е линейно пространство над F. Когато са фиксирани базиси над V и W, линейните изображения могат да се изразят с помощта на матрици.

Линейно изображение, което е едновременно и биекция, се нарича линеен изоморфизъм. Ако съществува изоморфизъм между две линейни пространства, те се наричат изоморфни; от гледна точка на линейната алгебра двете пространства са еквивалентни.

Допълнителни структури

Често се изучават линейни пространства, които притежават допълнителни структури. Целта им обикновено е обобщаването на стандартни понятия от геометрията.

• Реално или комплексно линейно пространство с добре-дефинирано понятие дължина или с други думи норма се нарича нормирано линейно пространство.
• Нормирано линейно пространство, за което е добре дефинирано понятието ъгъл, се нарича пространство със скаларно произведение.
• Линейно пространство, което притежава топология, съвместима с дефинраните операции (тоест такава, че събирането и умножението на вектор с число да бъдат непрекъснати), се нарича топологично линейно пространство.
• Линейно пространство с билинеен оператор (тоест умножение, което на два вектора съпоставя трети) се нарича алгебра над поле'.

Вижте също

• Линейна алгебра
• Вектор, за вектори в равнината и пространството

Литература

• Пламен Сидеров. Записки по алгебра; Линейна алгебра, изд. Веди, София, 2001.
• Кирил Дочев, Димитър Димитров. Линейна алгебра, изд. Наука и Изкуство, София, 1973.