Геометрична прогресия

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко следващо число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5, ... е с първи член 20 и частно 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...}$ е в сила равенството ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}q}$, където ${\displaystyle q\neq 0}$ е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и нейното частно.

Формула за общия член

Формулата за ${\displaystyle n}$-тия член на прогресията е ${\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}$.

Анализ на частното

• ${\displaystyle q<0:}$ ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа;
• ${\displaystyle q>1:}$ клоняща към плюс или минус безкрайност редица в зависимост от знака на първия член;
• ${\displaystyle q<-1:}$ могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност, а нечетните – към плюс безкрайност, или обратно в зависимост от знака на първия член;
• ${\displaystyle 0<q<1:}$ редицата клони отгоре или отдолу към 0 в зависимост от знака на първия член;
• ${\displaystyle -1<q<0:}$ редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове;
• ${\displaystyle q=1:}$ редицата е съставена от константи, равни на първия член;
• ${\displaystyle q=-1:}$ редицата е съставена от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на поредния номер;
• ${\displaystyle q=0:}$ редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства

• ${\displaystyle a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}}$ за всяко ${\displaystyle n\geq 2}$, т. е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове. В сила е и обратното твърдение: ако ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n},\,...}$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

• Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия

Сумата на първите ${\displaystyle n}$ члена на геометричната прогресия е

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

или, разписана подробно,

${\displaystyle (1)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\dots +a_{1}q^{n-1}.}$

Умножаваме двете страни на (1) с частното ${\displaystyle q}$ и получаваме

${\displaystyle (2)\,\,\,qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+\dots +a_{1}q^{n}.}$

Изваждаме (2) от (1) и намираме

${\displaystyle (3)\,\,\,S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\Rightarrow (1-q)S_{n}=a_{1}(1-q^{n}).}$

Сега, ако ${\displaystyle q\neq 1}$, веднага получаваме формулата за сбор на първите ${\displaystyle n}$ члена на геометрична прогресия:

${\displaystyle (4)\,\,\,S_{n}={a_{1}(1-q^{n}) \over (1-q)}.}$

В частност при ${\displaystyle q=1}$ имаме ${\displaystyle (5)\,\,\,S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=\underbrace {a_{1}+a_{1}+\dots +a_{1}} _{n}=na_{1}.}$

При ${\displaystyle \left|q\right|<1}$ прогресията е намаляваща и нейната ${\displaystyle n}$-та (частична, парциална) сума се дава с (4). Ако имаме още, че ${\displaystyle n\to \infty }$, то е изпълнено ${\displaystyle q^{n}\to 0}$ и тогава под сума на прогресията се разбира границата

${\displaystyle (6)\,\,\,\lim _{n\to \infty }{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}$

Равенството (6) е известно като сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Произведение на геометричната прогресия

Произведението на първите ${\displaystyle n}$ члена на геометрична прогресия е

${\displaystyle p_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdot \cdot \cdot a_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot a_{1}q\cdot a_{1}q^{2}\cdots a_{1}q^{n-1}.}$

Оттук лесно получаваме, че ${\displaystyle p_{n}=a_{1}^{n}q^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}}$.

Сумата в степенния показател на ${\displaystyle q}$ е всъщност сума на аритметична прогресия с първи член ${\displaystyle b_{1}=1}$, разлика ${\displaystyle d=1}$ и последен член ${\displaystyle b_{n-1}=n-1}$ и е числено равна на ${\displaystyle {\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}-n}{2}}.}$ Така произведението на първите ${\displaystyle n}$ члена на геометрична прогресия (за която предполагаме, че са изпълнени условията ${\displaystyle a_{1}\neq 0,\,\,q\neq 0}$) се дава с формулата

${\displaystyle (7)\,\,\,p_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}.}$

Вижте също

• Аритметична прогресия
• Томас Малтус