Роден е в София през 1908 г. По-голям брат е на художника Илия Пейков. Семейството се мести в Севлиево през 1914 г. След смъртта на баща си през 1923 г. Асен Пейков се премества в Созопол, където за пръв път започва да се занимава със скулптура. Завършва Художествената академия в София със златен медал.
Като студент участва в конкурса за паметник пред Софийския университет на неговите първи дарители братята Евлоги и Христо Георгиеви и получава втора награда. През 1938 г. открива първата си самостоятелна изложба в своето ателие на бул. „Цар Освободител“ в София. Няколко месеца след това напуска окончателно България.
След заминаването си от България Асен Пейков живее в Париж, Мадрид, Съединените щати, накрая се установява в Италия. През следващите години Пейков се превръща в една от водещите фигури на италианската скулптура. Ученик е на професор Андрей Николов и последовател на римската пластична школа. Създава над 1300 творби. В ателието си на улица „Маргута“ №54 в Рим прави потрети на много изтъкнати италиански интелектуалци, както и на редица световноизвестни личности.
