Апроксимация

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

• числени методи и функционален анализ, които се занимават с апроксимация на функции (най-честата употреба на термина);
• геометрия и топология, в които се разглежда апроксимацията на криви, повърхнини, пространства и изображения;
• теория на числата, където класически пример е апроксимацията на ирационални числа с рационални (т.нар. Диофантово приближение).^[1]

Апроксимиране на реалните числа с рационални

Теорема 1. Нека ${\displaystyle x}$ е реално число, а ${\displaystyle n}$ – естествено. Тогава съществуват цели числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, за които ${\displaystyle 1\leq q\leq n}$ и ${\displaystyle (1):}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{nq}}\cdot }$

За произволно реално ${\displaystyle y}$ да означим с ${\displaystyle [y]}$ най-голямото измежду целите числа ${\displaystyle m\leq y}$. Така например, ${\displaystyle \left[{\frac {5}{2}}\right]=2}$, ${\displaystyle \left[-{\frac {5}{2}}\right]=-3}$. От това определение става ясно, че ${\displaystyle [y]}$ е цяло число и че ${\displaystyle 0\leq y-[y]<1}$.

Да разгледаме числата ${\displaystyle kx-[kx],(k=0,1,2...,n)}$. Те са ${\displaystyle n+1}$ на брой и лежат в интервала ${\displaystyle [0,1]}$. Разделяме последния интервал на ${\displaystyle n}$ равни подинтервала ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2},...,\Delta _{n},}$ всеки от които има дължина ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle l}$ между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle n}$, за които числата ${\displaystyle kx-[kx]}$ и ${\displaystyle lx-[lx]}$ принадлежат на един и същи интервал ${\displaystyle \Delta _{\nu }}$. Следователно разстоянието между тях няма да надминава ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, т.е.

${\displaystyle |kx-[kx]-(lx-[lx])|\leq {\frac {1}{n}},}$

или, което е същото ${\displaystyle (2)}$,

${\displaystyle |(k-l)x-([kx]-[lx])|\leq {\frac {1}{n}}.}$

Тъй като ${\displaystyle k\neq l}$, без ограничение на общността може да се предположи, че ${\displaystyle k>l}$. Освен това, ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq n}$, следователно ${\displaystyle 1\leq k-l\leq n}$. Да положим ${\displaystyle q=k-l}$ и ${\displaystyle p=[kx]-[lx]}$. Тогава ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ са цели числа и са в сила неравенствата ${\displaystyle 1\leq q\leq n}$. При тези означения ${\displaystyle (2)}$ добива вида ${\displaystyle |qx-p|\leq {\frac {1}{n}}}$, откъдето след деление на двете страни с ${\displaystyle q}$ се получава ${\displaystyle (1)}$. От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число ${\displaystyle x}$ съществуват безбройно много естествени числа ${\displaystyle q}$, за всяко от които съществува цяло число ${\displaystyle p,}$ за което е в сила неравенството

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}}\cdot }$^[2]

Източници

1. Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
2. Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство „Народна просвета“, София, 1975 г.