Чатырохімпульс

Чатырохі́мпульс^[1][2], 4-і́мпульс — 4-вектар энергіі-імпульсу, рэлятывісцкае абагульненне класічнага трохмернага вектара імпульсу (колькасці руху) на чатырохмерную прастору-час. Тры кампаненты класічнага вектара імпульсу ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ матэрыяльнай кропкі пры гэтым становяцца трыма прасторавымі кампанентамі вектара чатырохімпульсу. Часавай кампанентай вектара чатырохімпульсу пры гэтым з'яўляецца (з дакладнасцю да множніка) поўная энергія матэрыяльнай кропкі.

${\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}.}$

Чатырохімпульс карысны пры рэлятывісцкіх разліках, бо ён з'яўляецца каварыянтным вектарам Лорэнца (чатырохвектарам) і таму яго норма (у лорэнцавай метрыцы) інварыянтная пры пераходзе ў іншую інерцыяльную сістэму адліку (яго кампаненты пры гэтым змяняюцца ў адпаведнасці з пераўтварэннямі Лорэнца).

Квадрат чатырохімпульсу

4-імпульс і маса

Квадрат вектара чатырохімпульсу кропкавай часціцы з'яўляецца скалярным інварыянтам, роўным (з дакладнасцю да множніка ${\displaystyle \!c^{2}}$) квадрату масы часціцы:

${\displaystyle p^{2}=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=m^{2}c^{2},}$

дзе c — скорасць святла, індэксы ${\displaystyle \mu ,\nu =0,...,3;}$ тут выкарыстана пагадненне аб сумаванні па паўторных індэксах.

Матрыца g, якая ўваходзіць у скалярны здабытак 4-вектара p самога на сябе, з'яўляецца метрычным тэнзарам прасторы-часу. У спецыяльнай тэорыі адноснасці выкарыстоўваецца метрыка Мінкоўскага, адмысловы від матрыцы ${\displaystyle \!g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$, які адпавядае плоскай (няскрыўленай) прасторы-часу:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}};}$

у гэтым выпадку

${\displaystyle m^{2}c^{2}={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}.}$

Такім чынам, у СТА маса часціцы не мяняецца пры лорэнавых пераўтварэннях. Модуль чатырохімпульсу ${\displaystyle |p|={\sqrt {p^{2}}}=mc}$ для рэальных часціц заўсёды неадмоўны (г. зн. 4-імпульс заўсёды часападобен ці светлападобен; ён мог бы быць адмоўным для гіпатэтычных тахіёнаў, рушачых хутчэй за святло). Чатырохімпульс фатонаў і іншых бязмасавых часціц мае нулявы модуль, для масіўных часціц модуль дадатны. У залежнасці ад пагаднення аб сігнатуры, модуль 4-імпульсу можа быць вызначан з процілеглым знакам.

Сувязь з 4-скорасцю

Для масіўнае часціцы 4-імпульс ровен здабытку яе масы на чатырохскорасць

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}$

дзе 4-скорасць ёсць вектар

${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v^{x}\\\gamma v^{y}\\\gamma v^{z}\end{pmatrix}},}$

а велічыня ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ — гэта множнік Лорэнца і ${\displaystyle d\tau }$ — уласны час часціцы.

Кананічны імпульс у прасторы ў прысутнасці электрамагнітнага патэнцыялу

Для прымянення ў рэлятывісцкай квантавай механіцы мэтазгодна вызначыць «кананічны» чатырохімпульс P_μ, які прадстаўляе сабою суму чатырохімпульсу часціцы і здабытку яе электрычнага патэнцыялу на чатырохвектарны патэнцыял электрамагнітнага поля:

${\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu },}$

дзе 4-патэнцыял ёсць вектар, састаўлены са скалярнага патэнцыялу ${\displaystyle \varphi }$ (часавая кампанента) і 3-вектарнага патэнцыялу ${\displaystyle {\vec {A}}}$ (прасторавая кампанента):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varphi \\-A_{x}\\-A_{y}\\-A_{z}\end{pmatrix}}.}$

Тым самым улічваюцца патэнцыяльная энергія зараджаных часціц у электрастатычным патэнцыяле і сіла Лорэнца, якая дзейнічае на рушачыя зараджаныя часціцы ў магнітным полі. Гэта дае магчымасць уключыць уздзеянне электрамагнітнага поля ва ўраўненне Шродзінгера.

Гл. таксама

• Інтэрвал
• Тэнзар энергіі-імпульсу

Зноскі

1. Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. Гл. 17. Пространство-время. Алгебра четырехвекторов.
2. ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена Архівавана 1 студзеня 2008. по специальности 01.04.23 «Физика высоких энергий» по техническим и физико-математическим наукам.

Літаратура

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.