Тэарэма сінусаў

Стандартныя абазначэнні

Тэарэма сінусаў — тэарэма пра сувязь паміж старанамі трохвугольніка і процілеглымі да іх вугламі.

Тэарэма сцвярджае:

Для адвольнага трохвугольніка са старанамі a, b, c і адпаведнымі ім процілеглымі вугламі α, β, γ справядліва роўнасць ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$ дзе R — радыус акружнасці, апісанай вакол трохвугольніка.

Доказ  

Дастаткова даказать, што

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Правядзём дыяметр BG апісанай акружнасці. Па ўласцівасці вуглоў, упісаных у акружнасць, вугал GCB прамы, а вугал CGB роўны або ${\displaystyle \alpha }$, калі пункты A і G ляжаць па адзін бок ад прамой BC, або ${\displaystyle \pi -\alpha }$ ў процілеглым выпадку. А раз

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ,}$

у абодвух выпадках атрымліваем

${\displaystyle a=2R\sin \alpha .}$

Даслоўна паўтарыўшы тое ж разважанне для дзвюх другіх старон трохвугольніка, атрымліваем:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$

Гл. таксама

• Тэарэма косінусаў