Выхаванец мінскага «Дынама», гуляў за другую і асноўную каманду. З 2001 года — ігрок салігорскага «Шахцёра». Доўгі час быў капітанам каманды.
У сезоне 2013 трывала з’яўляўся ў стартавым складзе на пазіцыі апорнага паўабаронцы. У студзені 2014 года падоўжыў кантракт з «Шахцёрам»[2]. У сезоне 2014, аднак, капітанства ў камандзе перайшло ад Лявончыка да Аляксандра Юрэвіча. Сам Андрэй пачаў сезон 2014, звычайна толькі выходзячы на замену, але пазней, з-за траўм асноўных ігракоў, стаў выхадзіць у стартавым складзе. Пад канец сезону зноў стаў пераважна толькі выхадзіць на замену. 4 кастрычніка 2014 года, выйшаўшы на замену ў матчы супраць «Тарпеда-БелАЗ», згуляў 500-ы матч на вышэйшым узроўні, уступіўшы тым самым у Клуб Сяргея Алейнікава[3].
У студзені 2015 года завяршыў кар’еру і перайшоў на пасаду намесніка дырэктара «Шахцёра»[4]. У маі 2018 года, пасля пераходу Юрыя Вяргейчыка на працу ў АБФФ, Лявончык стаў дырэктарам салігорскага клуба[5]. Заставаўся на пасадзе да сакавіка 2021 года[6].
Перад сезонам 2022 стаў намеснікам дырэктара дзяржынскага «Арсенала»[7].
