Медыяна (статыстыка)

Медыя́на, 50-ы перцэнтыль, квантыль 0,5 — значэнне, якое дзеліць упарадкаваную выбарку^[d] або размеркаванне імавернасцей на дзве роўныя часткі: «верхнюю» і «ніжнюю». Значэнні элементаў выбаркі (або выпадковай велічыні) з «ніжняй» палавіны будуць не большыя за медыяну, а з «верхняй» — не меншыя за медыяну.

Многавымернае абагульненне медыяны — геаметрычная медыяна^[en].

Азначэнне

Для выпадковай велічыні

Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання^[1].

Медыянай выпадковай велічыні называецца такі лік ${\displaystyle m}$, для якога выконваецца няроўнасць

${\displaystyle F(m)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m+0),}$

дзе ${\displaystyle F(m)}$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні ў пункце ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle F(m+0)}$ — яе аднабаковы ліміт^[en] справа^{[заўв 1][2]}.

Калі функцыя размеркавання непарыўная, то няроўнасць у азначэнні спрашчаецца да роўнасці ${\displaystyle F(m)=1/2.}$ Калі такая ўмова справядліва для некалькіх пунктаў ${\displaystyle m,}$ то ўсе яны ёсць медыянамі^[3].

Для выбаркі

У статыстыцы, каб вылічыць медыяну, неабходна ўпарадкаваць элементы выбаркі ад найменшага да найбольшага і выбраць значэнне пасярэдзіне (напрыклад, медыяна выбаркі {3, 3, 5, 9, 11} роўная 5). Калі колькасць элементаў у выбарцы цотная, і нельга вылучыць нейкае адно значэнне «пасярэдзіне», то медыяна, звычайна, вызначаецца як сярэдняе з двух значэнняў «пасярэдзіне»^[4] (напрыклад, медыянай выбаркі {3, 5, 7, 9} будзе (5 + 7) / 2 = 6).

Уласцівасці

• Для выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$ з непарыўнай функцыяй размеркавання, медыяна мінімізуе абсалютны момант першага парадку ${\displaystyle \mathbb {E} [|X-c|]}$^[5].

Заўвагі

1. Такое азначэнне мае месца, калі сама функцыя размеркавання вызначана як непарыўная злева.

Крыніцы

1. AP Statistics Review
2. Звяровіч 2013, с. 131
3. Звяровіч 2013, с. 131
4. Weisstein
5. Звяровіч 2013, с. 131-132

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Спасылкі

• AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions (нявызн.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 2 April 2015. Праверана 16 March 2015.
• Weisstein, Eric W.. Statistical Median (нявызн.). MathWorld.