Закон Рэлея — Джынса

Закон Рэлея — Джынса — закон выпраменьвання для раўнаважнай шчыльнасці выпраменьвання абсалютна чорнага цела ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ і для выпраменьвальнай здольнасці абсалютна чорнага цела ${\displaystyle f(\omega ,T)}$, які атрымалі Рэлей і Джынс, у рамках класічнай статыстыкі (тэарэма аб роўнаразмеркаванні энергіі па ступенях свабоды і ўяўленне аб электрамагнітным полі як аб бясконцамернай дынамічнай сістэме).^[1][2][3]

Правільна апісваў нізкачастотную частку спектра, пры сярэдніх частотах прыводзіў да рэзкага разыходжання з эксперыментам, а пры высокіх — да абсурднага выніку (гл. ніжэй), які азначаў нездавальняючасць класічнай фізікі.

Вывад формулы

Залежнасць выпраменьвальнай здольнасці абсалютна чорнага цела ад даўжыні хвалі для розных тэмператур (вылучаныя колерам) і яе выгляд, зыходзячы з класічных разважанняў Рэлея і Джынса (чорны колер)

Грунтуючыся на законе аб роўнаразмеркаванні энергіі па ступенях свабоды: на кожнае электрамагнітнае ваганне прыходзіцца ў сярэднім энергія, якая складваецца з дзвюх частак kT. Адну палавіну ўносіць электрычны складнік хвалі, а другую — магнітны. Само па сабе, раўнаважнае выпраменьванне ў поласці можна прадставіць як сістэму стаячых хваль. Колькасць стаячых хваль у трохмернай прасторы даецца выразам:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}\qquad \qquad (1)}$.

У нашым выпадку хуткасць ${\displaystyle v}$ трэба прыняць роўнай ${\displaystyle c}$, больш таго, у адным кірунку могуць рухацца дзве электрамагнітныя хвалі з адной частатой, але са ўзаемна перпендыкулярнымі палярызацыямі, тады (1) трэба яшчэ памножыць на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (2)}$.

Рэлей і Джынс кожнаму ваганню прыпісалі энергію ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=kT}$. Памножыўшы (2) на \ overline { \ varepsilon } ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$, атрымаем шчыльнасць энергіі, якая прыпадае на інтэрвал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$:

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$,

тады:

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (3)}$.

Ведаючы сувязь выпускальнай здольнасці абсалютна чорнага цела ${\displaystyle f(\omega ,T)}$ з раўнаважнай шчыльнасцю энергіі цеплавога выпраменьвання ${\displaystyle f(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$, для ${\displaystyle f(\omega ,T)}$ знаходзім :

${\displaystyle f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\qquad \qquad (4)}$

Выразы (3) і (4), называюць формулай Рэлея—Джынса.

Ультрафіялетавая катастрофа

Асноўны артыкул: Ультрафіялетавая катастрофа

Формулы (3) і (4) здавальняюча адпавядаюць эксперыментальным дадзеным толькі для вялікіх даўжынь хваль, на больш кароткіх хвалях згода з эксперыментам рэзка разыходзіцца. Больш таго, інтэграванне (3) па ${\displaystyle \omega }$ ў межах ад 0 да ${\displaystyle \infty }$ для раўнаважкай шчыльнасці энергіі u(T) дае бясконца вялікае значэнне. Гэты вынік, які атрымаў назву ультрафіялетавай катастрофы, відавочна, супярэчыць эксперыментам: раўнавага паміж выпраменьваннем і целам, што выпраменьвае, павінна ўсталёўвацца пры канечных значэннях u(T). Аднак памылкі ў вывадзе формулы Рэлея—Джынса з класічнага пункта гледжання няма. Відавочна нязгода з эксперыментам выклікана нейкімі заканамернасцямі, несумяшчальнымі з класічнай фізікай. Гэтыя заканамернасці былі вызначаны Максам Планкам: ў 1900 годзе яму ўдалося знайсці выгляд функцыі ${\displaystyle u(\omega ,T)}$, які адпавядае вопытным дадзеным і пазней названы формулай Планка.

Зноскі

1. Strutt JW (Rayleigh) (1900). "Remarks upon the law of complete radiation". Phil. Mag. 49: 539–540.
2. Jeans JH (1905). "On the laws of radiation" (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A. 76: 545–552. doi:10.1098/rspa.1905.0060.
3. Говард Д. (1966). "Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)" (pdf). УФН. 88 (1): 149–160.