Закон Кюры

Закон Кюры — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}},}$

дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ): ${\displaystyle M}$ — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца; ${\displaystyle B}$ — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах; ${\displaystyle T}$ — абсалютная тэмпература ў Кельвінах; ${\displaystyle C}$ — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі

Магнітная ўспрымальнасць парамагнетыка як функцыя тэмпературы.

Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$. Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

${\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}$

Вобласці з двума станамі (спін-1/2)

Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle -\mu }$ і два значэння энергіі ${\displaystyle E_{0}=-\mu B}$ и ${\displaystyle E_{1}=\mu B}$. Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}$

дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума ${\displaystyle Z}$ забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

${\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)}$

Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)}$

Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

${\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}$

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы ${\displaystyle T}$ вялікае, а ${\displaystyle B}$ мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

${\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}$

І так як вядома, што ў выпадку ${\displaystyle |x|\ll 1}$ выконваюцца суадносіны:

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

атрымліваем вынік:

${\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}$

дзе канстанта Кюры роўная ${\displaystyle C=N\mu ^{2}/k}$. Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў, ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N\mu }$ маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

Агульны выпадак

У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.англ.: Brillouin function). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі

Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

дзе ${\displaystyle \theta }$ — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты ${\displaystyle z}$. Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла ${\displaystyle \phi }$, і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай ${\displaystyle y=\cos \theta }$${\displaystyle y=\cos \theta }$, што дазваляе атрымаць:

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

Матэматычнае чаканне кампаненты ${\displaystyle z}$ будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z,}$

што дае:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}$

дзе ${\displaystyle L}$ носіць назву функцыі Ланжавэна:

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў ${\displaystyle x}$, але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу ${\displaystyle L(x)\approx x/3}$, што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

Прымяненне

Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

Гл. таксама

• Закон Кюры — Вейса
• Парамагнетызм
• П’ер Кюры

Спасылкі

• Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
• Закон Кюры — артыкул з БСЭ