Vin qanunu

Müxtəlif temperaturlar üçün dalğa uzunluğundan asılı olaraq mütləq qara cismin şüalanması. Hər bir temperatur əyrisi fərqli dalğa uzunluğunda maksimuma çatır və Vin qanunu həmin maksimumun yerdəyişməsini təsvir edir

Vin qanunu (yerdəyişmə qanunu) — mütləq qara cismin şüalanma spektrində enerjinin temperaturdan asılı olaraq paylanması qanunu.

Vilhelm Vin bu qanunu ilk dəfə 1893-cü ildə termodinamika qanunlarını elektromaqnit şüalanmasına tətbiq etməklə çıxarmışdır. İntensivlik pikinin temperatura nəzərən yerdəyişməsi təcrübi olaraq müşahidə edilmişdir. Hal-hazırda, Vinin yerdəyişmə qanunu riyazi olaraq Plank qanunundan əldə etmək mümkündür.

Vinin yerdəyişmə qanununun ümumi şəkli

Qanun aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}$

burada ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — maksimum intensivlikli şüalanmanın dalğa uzunluğu, ${\displaystyle T}$ — mütləq temperatur,${\displaystyle b}$ isə mütənasiblik əmsalı olub, Vin sabiti adlanır. Mütənasiblik əmsalı ${\displaystyle b={\frac {ch}{k\alpha }}}$ (burada c — işığın vakuumdakı sürəti, h — Plank sabiti, k — Bolsman sabiti, α ≈ 4,965114… isə sabit kəmiyyət olub, ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha }}$ tənliyinin köküdür), Vin sabitinin Beynəlxalq Vahidlər Sistemindəki (BS) qiyməti 2898 mkm·K-dir.

İşığın tezliyi üçün (herslə) Vinin yerdəyişmə qanunu aşağıdakı formada olar:

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\approx 5{,}879\times 10^{10}\cdot T}$

α≈ 2,821439… — sabit kəmiyyət (${\displaystyle \alpha /3=1-e^{-\alpha }}$ tənliyinin kökü), k — Bolsman sabiti, h — Plank sabiti, T isə mütləq temperaturdur. Buradakı ədədi sabitlərin fərqi şüalanmanın dalğa uzunluğu və tezliyi üçün yazılmış Plank paylanmasındakı eksponentlər arasındakı fərqlə bağlıdır: bir halda ${\displaystyle \lambda ^{-5}}$, digər halda isə ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3}}$ daxildir. Bu fərq, öz növbəsində, tezlik və dalğa uzunluğu arasındakı əlaqənin qeyri-xətti olmasından irəli gəlir:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }},\quad {\frac {d}{d\omega }}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}}$

Qanunun çıxarılışı

Çıxarılış üçün mütləq qara cismin şüalanma qabiliyyəti ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)}$ üçün Plank qanununun ifadəsindən istifadə etmək olar:

${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}$

Dalğa uzunluğundan asılı olaraq bu funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün onun ${\displaystyle \lambda }$ dəyişəninə nəzərən törəməsini almaq və həmin törəməni sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır:

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0}$

Bu düsturdan dərhal müəyyən etmək olar ki, ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ və ya ${\displaystyle e^{hc/\lambda kT}\to \infty }$ olduqda törəmə sıfıra yaxınlaşır, bu ${\displaystyle \lambda \to 0}$ üçün doğrudur. Lakin bu halların hər ikisi ${\displaystyle B(\lambda )}$ Plank funksiyasının minimumunu verir, verilmiş dalğa uzunluqları üçün sıfıra çatır (yuxarıdakı şəkilə bax). Buna görə də analiz yalnız üçüncü mümkün halda davam etdirilməlidir

${\displaystyle {\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5=0}$

${\displaystyle {\displaystyle x={\frac {hc}{kT\lambda }}}}$ əvəzləməsindən istifadə etməklə, bu tənliyi aşağıdakı formaya çevirmək olar

${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0}$

Bu tənliyin ədədi həlli aşağıdakı kimidir^[1]

${\displaystyle x=4{,}965114231744276\ldots }$

Beləliklə, əvəzetmədən, Plank və Bolsman sabitlərinin qiymətlərindən və işıq sürətindən istifadə edərək, qara cismin şüalanma intensivliyinin maksimuma çatdığı dalğa uzunluğunu müəyyən edə bilərik:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}}}$

burada ${\displaystyle T}$ kelvinlə, ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ isə metrlə verilmişdir.

Nümunələr

Vinin yerdəyişmə qanununa görə, insanın bədən temperaturuna (~310 K) malik qara cisim, spektrin infraqırmızı diapazonuna uyğun gələn təxminən 10 mkm dalğa uzunluğunda maksimum istilik şüalanmasına malikdir.

Qalıq şüalanmanın effektiv temperaturu 2,7 K və 1 mm dalğa uzunluğunda maksimuma çatır. Müvafiq olaraq, bu dalğa uzunluğu artıq radio diapazonuna aiddir.

Qeydlər

1. ${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}=n}$ tənliyinin həlli elementar funksiyaların köməyilə ifadə edilə bilməz. Onun dəqiq həllini Lambert W-funksiyasından istifadə etməklə tapmaq olar, lakin bu halda təqribi həlldən istifadə etmək kifayətdir.

Ədəbiyyatlar

• Erik Veyşteynin fizika dünyası (ing.)
• Soffer, B. H.; Lynch, D. K. Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision (ing.) // American Journal of Physics: journal. — 1999. — Vol. 67, no. 11. — P. 946–953. — doi:10.1119/1.19170. — Bibcode: 1999AmJPh..67..946S.
• Heald, M. A. Where is the 'Wien peak'? (ing.) // American Journal of Physics. — 2003. — Vol. 71, no. 12. — P. 1322–1323. — doi:10.1119/1.1604387. — Bibcode: 2003AmJPh..71.1322H.