Eyve təhsildə olduğu kimi, şahmatda da yaşıdlarını qabaqlayıb. 1913-cü ildə 12 yaşlı Maks Amsterdam şahmat klubunun üzvü olaraq turnirlərdə iştirak etməyə başladı. Bu klubda o, müharibəyə görə Hollandiyaya keçən görkəmli şahmatçılarla tanış olur. Bu tanışlıq onun istedadının inkişafında böyük rol oynayır.
1918-ci ildə məktəbi bitirdikdən sonra Eyve Amsterdam univeristetinin riyaziyyat fakültəsinə daxil olur. Tezliklə o, Hollandiyanın ən güclü şahmatçılarından biri olur. Bir il sonra Eyve beynəlxalq turnirlərdə çıxış etməyə başlayır. Amma ilk çıxışları uğursuz olduğundan özünü elmə sərf etməyə qərar verir. 1921-ci ilin yanvarında riyaziyyat üzrə namizədlik imtahanını müvəffəqiyyətlə verərək, ali məktəb müəllimi diplomu alır. Bundan sonra yenidən şahmat oynamağa başlayır. O, şahmata elmi tədqiqat predmeti kimi baxırdı. Şahnmat nəzəriyyəsini diqqətlə öyrənir, debütdəki bütün yenilikləri sistemləşdirirdi.
Artıq 1920-ci illərin axırlarında Eyvenin adı dünyanın ən güclü qrosmeysterləri arasında çəkilir. 1926-1927-ci illərdə o Aleksandr Alexinlə birinci görüşünü keçirir və 4,5:5,5 hesabı ilə uduzur. Sonar isə gənc şahmatçının qələbələr dövrü başlayır. 1928-1935-ci illər aralığında keçirilən bir neçə beynəlxalq turnirdə qalib gəlir.
Eyvenin şahmat karyerasının zirvəsi 1935-ci ildə Alexinlə şahmat tacı uğrunda keçirdiyi görüş olmuşdur. Matçın şərtinə görə 30 görüşdə 15,5 xal toplayan şahmatçı qalib gəlirdi. Matçın startı hollandiyalı üçün uğursuz olur, hesab 4-cü görüşdən sonra 3:1, 9-cu görüşdən sonra isə 6:3 Alexinin xeyrinə idi. Lakin görüşdən-görüşə xallar arsındakı fərq azalır. Artıq 24-cü görüşdən sonra xallar bərabərləşir — 12:12.
Bu andan başlayaraq, Eyve hesabda irəli çıxır. Sonuncu görüş ərəfəsində Hollandiyalı 15:14 hesabı ilə irəlidə idi. Alexini ancaq qələbə qane edirdi. Lakin Eyve inamla oynayaraq, görüşü heç-heçə başa çatdırır.
Revanş oyunu 1937-ci il (Maks Eyve— Aleksandr Alexin)
İki ildən sonra revanş matçında Eyve Alexinə məğlub olur. Sonralar Eyve yazırdı:
1935-ci ildə çempion olarkən mən Alexindən zəif oynayırdım. İki ildən sonra gücləndim, lakin uduzdum... Yuli Sezar haqlı imiş: Qazanılmış qələbəni müdafiə etmək, onu qazanmaqdan çox çətinmiş
.
Əsərləri
O, şahmat ədəbiyyatçısı kimi də böyük miras qoyub getmişdir. Eyve şahmat nəzəriyyəsi və praktikasının bütün sahələrinə aid "Mittelşpil", "Endşpil" kimi silsilə fundamental kitablar, şahmat dərslikləri yazmış, qəzet və jurnallarda bir sıra diqqətçəkən məqalələrlə çıxış etmişdir.
Eyve həyatı boyu 90 turnirdə və 30 matçda iştirak etmişdir.
