0,(9)

Onluq kəsrdə 9 rəqəmi sonsuza kimi təkrarlanır.

0.999… (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) — Riyaziyyatda onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9 rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999… ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür.^[1] Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 …" və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyin riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Cəbri isbatlar

Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0,(5)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3)}$ kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}}$

${\displaystyle 1=0,(9)}$ bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

${\displaystyle 0.(9)}$ ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən ${\displaystyle x}$ ilə əvəzləyək.

${\displaystyle x=0,(9)}$

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

${\displaystyle 10x=9,(9)}$

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni ${\displaystyle x}$-i çıxaq.

${\displaystyle 9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9}$

Sadələşdirək.

${\displaystyle x=1}$

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$

${\displaystyle n}$ sonsuza yaxınlaşarkən ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ifadəsi ${\displaystyle 0}$-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$ dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$ və ${\displaystyle a}$ sabit ədəddir və ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$-dir.

Ümumi termini ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$ və sabit ədədi ${\displaystyle 9}$ olan ardıcıllıq ${\displaystyle 0.(9)}$-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}$ olduğunu görə bilərik.

İstinadlar

1. 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ifadələrdə sonuncu mərtəbədən sonra 0 rəqəmləri yazıla bilər və bu ifadənin qiymətini dəyişmir. Riyaziyyatdan məlumdur ki:
   ${\displaystyle 0.9000...<0.9900...<...<0.9999...}$