Númberu e

Númberu e
número trascendente ^(es) , númberu real, Númberu irracional y constante matemática ^(es)

Diez mil primeres cifres decimales del númberu ${\displaystyle e}$ en formatu cartelu.

La constante matemática ${\displaystyle e\,}$ ye unu de los númberos irracionales más importantes.^[1] Ye aproximao igual a 2,71828 y apaez en diverses cañes de les Matemátiques, al ser la base de los llogaritmos naturales y formar parte de les ecuaciones del interés compuestu y otros munchos problemes.

El númberu ${\displaystyle e\,}$, conocíu n'ocasiones como númberu d'Euler o constante de Napier, foi reconocíu y utilizáu per primer vegada pol matemáticu escocés John Napier, quien introdució'l conceutu de llogaritmu nel cálculu matemáticu.

Xuega un papel importante nel cálculu y nel analís matemáticu, na definición de la función más importante de la matemática,^[2] la función esponencial, según ${\displaystyle \pi \,}$ lo ye de la xeometría y el númberu ${\displaystyle i\,}$ del analís complexu y de la álxebra.

El númberu ${\displaystyle e\,}$, al igual que'l númberu ${\displaystyle \pi \,}$ y el númberu áureo (φ), ye un númberu irracional, non expresable por aciu una razón de dos númberos enteros; o bien, nun puede ser representáu por un numberal decimal exactu o un decimal periódicu. Amás, tamién como ${\displaystyle \pi \,}$, ye un númberu trascendente, esto ye, que nun puede ser raigañu de nenguna ecuación alxebraica con coeficientes racionales.^[3] El valor de ${\displaystyle e\,}$ truncáu a les sos primeres cifres decimales ye'l siguiente:

${\displaystyle e\ \approx 2,71828182845904523536...}$

Llista de númberos – Númberos irracionales ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binariu	10.10110111111000010101…
Decimal	3.14159265358979323846…
Hexadecimal	3.243F6A8885A308D31319…
Fraición continua	${\displaystyle 1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}$ Nótese que la fracción continua nun ye periódica.

Historia

Leonhard Euler popularizó l'usu de la lletra e pa representar la constante; amás foi'l descubridor de numberoses propiedaes referentes a ella.

A diferencia de ${\displaystyle \pi \,}$, la introducción del númberu ${\displaystyle e}$ na matemática ye relativamente recién, lo cual tien sentíu si considérase qu'esti postreru tuvo un orixe analíticu y non xeométricu, como'l primeru. Nes pallabres d'Eli Maor:^[4]

The story of ${\displaystyle \pi \,}$ has been extensively told, non doubt because its history goes back to ancient times, but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps non book did better than Petr Beckmann's A History of Pi, a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.

La hestoria de ${\displaystyle \pi \,}$ foi extensivamente contada, ensin dulda non yá porque la so hestoria traer dende tiempos antiguos, sinón tamién porque enforma d'él pue ser entendíu ensin una conocencia avanzada de les matemátiques. Quiciabes nengún llibru foi meyor que Hestoria de Pi de Petr Beckmann, un modelu d'esposición popular pero tamién claro y precisu. Al númberu y nun-y foi tan bien. Non yá ye d'una dómina más moderna, sinón tamién que la so hestoria ta cercanamente acomuñada col cálculu, la tema que ye tradicionalmente vistu como la puerta escontra matemátiques "más elevaes".

Les primeres referencies a la constante fueron publicaes en 1618 na tabla nun apéndiz d'un trabayu sobre llogaritmos de John Napier.^[5] Sicasí, esta tabla nun contenía'l valor de la constante, sinón que yera a cencielles una llista de llogaritmos naturales calculaos a partir d'ésta. Créese que la tabla foi escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, ${\displaystyle e}$ vese nuevamente arreyáu na lliteratura matemática, anque non del tou. Esi añu, Briggs dio un aproximamientu numbéricu a los llogaritmos en base 10, pero nun mentó al númberu ${\displaystyle e}$ explícitamente nel so trabayu.

La siguiente apaición de ${\displaystyle e}$ ee daqué dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó l'área so la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexón colos llogaritmos ye una cuestión abierta a alderique, ya inclusive si facer, nun hubo razón por que tratara con ${\displaystyle e}$ explícitamente. Quien sí entendió la rellación ente la hipérbola rectangular y el llogaritmu foi Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área so la curva ${\displaystyle ex=1}$. El númberu ${\displaystyle e}$ ee aquel valor d'ascisa a tomar por que l'área so esta curva a partir de 1 sía igual a 1. Esta ye la propiedá que fai que ${\displaystyle e}$ sía la base de los llogaritmos naturales, y magar nun yera entendida del tou polos matemáticos d'aquel entós, d'a pocu diben averándose a la so comprensión.

Sicasí, y seique inesperadamente, nun ye al traviés de los llogaritmos que ${\displaystyle e}$ ee descubiertu, sinón del estudiu del interés compuestu, problema encetáu por Jacob Bernoulli en 1683. Si inviértese una Unidá Monetaria (que vamos embrivir en delantre como UM) con un interés del 100% añal y páguense los intereses una vegada al añu, van llograse 2 UM. Si paguen los intereses 2 vegaes al añu, estremando l'interés ente 2, la cantidá llograda ye 1 UM multiplicáu por 1,5 dos veces, ye dicir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si estremamos l'añu en 4 periodos (trimestres), al igual que la tasa d'interés, llógrense 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414... En casu de pagos mensuales el monto xube a 1 UM x ${\displaystyle (1+\textstyle {1 \over 12})^{12}}$ = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que s'aumentar la cantidá de periodos de pagu nun factor de n (que tiende a crecer ensin llende) y amenórgase la tasa d'interés nel periodu, nun factor de ${\displaystyle \textstyle {1 \over n}}$, el total d'unidaes monetaries llograes va tar dau pola siguiente espresión:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}.}$

Bernoulli utilizó'l teorema del binomiu p'amosar que dichu llende atopar ente 2 y 3. Puede considerase esta'l primer aproximamientu atopáu pa ${\displaystyle e}$. Inclusive si aceptamos esta como una definición de ${\displaystyle e}$, seria la primer vegada qu'un númberu defínese como un procesu de llende. Con seguridá, Bernoulli nun reconoció nenguna conexón ente'l so trabayu y los llogaritmos. D'equí provién la definición que se da de ${\displaystyle e}$ en finances, qu'espresa qu'esti númberu ye la llende d'una inversión de 1 UM con una tasa d'interés al 100% añal compuestu en forma continua. En forma más xeneral, una inversión que s'empecipia con un capital C y una tasa d'interés añal R, va apurrir ${\displaystyle Ce^{R}}$ UM con interés compuestu.

El primer usu conocíu de la constante, representáu pola lletra b, foi nuna carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler empezó a utilizar la lletra y pa identificar la constante en 1727, y el primer usu de ${\displaystyle e}$ nuna publicación foi en Mechanica, d'Euler, publicáu en 1736. Ente que nos años subsiguientes dellos investigadores usaron la lletra c, ${\displaystyle e}$ foi la más común, y finalmente convirtióse na terminoloxía avezada. Euler realizó dellos apurras en rellación a ${\displaystyle e}$ nos años siguientes, pero nun foi hasta 1748 cuando publicó'l so Introductio in Analysin infinitorum que dio un tratamientu definitivu a les idees sobre ${\displaystyle e}$. Ellí amosó que :${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$ y dio un aproximamientu pa ${\displaystyle e}$ de 18 cifres decimales, ensin amosar cómo la llogró. Tamién dio la so espresión como fracción continua reconociendo'l patrón que sigue dicha espresión. Foi esta carauterización la que lu sirvió de base pa concluyir que ${\displaystyle e}$ ee un númberu irracional, y la mayor parte de la comunidá acepta que Euler foi'l primeru en probar esta propiedá.

La pasión que guio a muncha xente a calcular más y más cifres decimales de ${\displaystyle \pi \,}$ nunca paeció retrucar de la mesma manera pa ${\displaystyle e}$. Sicasí, dalgunos embarcáronse na xera de calcular la so espansión decimal y el primeru en contribuyir con esto foi William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks foi un entusiasta entá mayor del cálculu de los decimales de ${\displaystyle \pi }$. James Whitbread Lee Glaisher amosó que los primeres 137 llugares de Shanks pal cálculu de ${\displaystyle e}$ eeren correutos, pero atopó un error que, depués de correxíu por el mesmu Shanks, refundio cifres decimales de y hasta'l llugar 205. Ello ye que precísense alredor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... pa llograr 200 decimales.

Espansiones decimales entá mayores siguieron colos trabayos de Boorman en 1884, quien calculó 346 llugares y topó que'l so cómputu coincidía col de Shanks hasta'l llugar 187, pero depués diverxíen. En 1887 Adams envaloró'l llogaritmu de ${\displaystyle e}$ en base 10 con 272 cifres exactes.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) llogró demostrar que ${\displaystyle e}$ ee trascendente, a dichu llogru llegó usando un polinomiu, consiguíu con ayuda de fracciones continues, emplegaes, enantes, por Lambert. David Hilbert — tamién Karl Weierstrass y otros — propunxeron, posteriomente, variantes y cambeos de les primeres demostraciones.^[6]

Definición

L'área ente la exa x y la gráfica e = 1/x, ente x = 1 y x = e ye 1.

La definición más común de ${\displaystyle e}$ ee como'l valor llende de la socesión ${\displaystyle (1+{\tfrac {1}{n}})^{n}}$.^[7] En símbolos, :${\displaystyle e:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}}$

Dacuando tómase tamién como puntu de partida la serie

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

que s'espande como :${\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }$

Otra definición habitual^[8] dada al traviés del cálculu integral ye como solución de la ecuación

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=1,}$

ye dicir que se define ${\displaystyle e}$ como'l númberu pal que

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}$

Propiedaes matemátiques y aplicaciones

Analís matemáticu

Función esponencial

Artículu principal: Función esponencial

e ye l'únicu númberu a, tal que la derivada de la función esponencial f(x) = a^x (curva azul) nel puntu x = 0 ye igual a 1. En comparanza, les funciones 2^x (curva a puntos) y 4^x (curva a trazos) son amosaes; nun son tanxentes a la llinia de rimada 1 (colloráu).

Pa cualesquier ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, la socesión ${\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}}$ converxe. Podemos denotar dichu llende con ${\displaystyle e^{x}}$:

${\displaystyle e^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

Llámase función esponencial a la función real que la so variable independiente percuerre'l conxuntu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los númberos reales, y defínese como

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto e^{x}\end{aligned}}}$

La traza más relevante de la función esponencial ye que la so función derivada (qu'esiste en tou puntu) coincide cola mesma función, esto ye,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Amás, ye la única función non hermano nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedá. Esto fai de la esponencial la función más importante del analís matemáticu, y en particular pa les ecuaciones diferenciales.

El desenvolvimientu en serie de la función ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ realizar por aciu la fórmula de Maclaurin. Yá que

${\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)=e^{x},}$

${\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}$

la fórmula de Maclaurin escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}$

Suponiendo x=1, llógrase'l valor averáu del númberu

${\displaystyle e\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}$

Onde s'entiende como un valor averáu.^[9]

Problema de Steiner

El máximu global de ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ asocede en ${\displaystyle x=e}$.

Esti problema plantega atopar el máximu absolutu de la función

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}$

Esti máximu dase precisamente en ${\displaystyle e}$.^[10]

Coles mesmes, ${\displaystyle 1/e}$ ye'l mínimu absolutu de la función

${\displaystyle f(x)=x^{x}\,}$

definida pa ${\displaystyle x>0}$. Más polo xeneral, la función

${\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}$

algama'l so máximu global en ${\displaystyle 1/e}$ pa ${\displaystyle n<0}$; y el mínimu global atopar en ${\displaystyle e^{-1/n}}$ pa ${\displaystyle n>0}$.

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converxe si y solu si ${\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}}$, por un teorema de Leonhard Euler.^[11][12]

Númberos complexos

Representación xeométrica de la fórmula d'Euler.

El númberu ${\displaystyle e}$ presenta na fórmula d'Euler un papel importante rellacionáu colos númberos complexos:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}$

El casu especial con ${\displaystyle x=\pi }$ ee conocíu como identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

de lo que se deduz que:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Amás, utilizando les lleis de la exponenciación, llógrase:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

que ye la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la espunxo ante los sos alumnos, y manifestó la so reconocencia ante la maraviyosa conexón de los cinco númberos más famosos de tola matemática.^[13]

Probabilidá ya estadística

El númberu e tamién apaez n'aplicaciones a la teoría de probabilidaes. Un exemplu ye'l problema de los desigües, decubierto en parte por Jacob Bernoulli xunto con Pierre Raymond de Montmort, tamién conocíu como el problema de los sombreros:^[14] los n convidaos a una fiesta dexen a la entrada los sos sombreros col mayordomu, quien los asitia depués en n compartimientos, cada unu col nome d'unu de los invitaos. Pero'l mayordomu nun conoz la identidá de los invitaos, y entós asitia los sombreros nos compartimientos al azar. El problema de De Montmort ye atopar la probabilidá de que nengún de los sombreros sía asitiáu nel compartimientu correutu. La respuesta ye:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

A midida que el númberu n d'invitaos tiende a infinitu, P(n) averar a 1/e. Mas entá, el númberu de maneres en que pueden asitiase los sombreros nos compartimientos de forma que nengún correspuenda al so dueñu ye n!/e arrondáu al enteru más cercanu, pa cada positivu n.^[15] La resultancia anterior puede reformulase de la siguiente manera: sía ${\displaystyle P(n)}$ la probabilidá de qu'una función aleatoria del conxuntu 1, 2, ..., n en sí mesmu tenga siquier un puntu fixu. Entós

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}$

Otra apaición de ${\displaystyle e}$ na probabilidá ye nel siguiente problema: tiense una secuencia infinita de variables aleatories X₁, X₂..., con distribución uniforme en [0,1]. Sía V el menor enteru n tal que la suma de les primeres n observaciones ye mayor que 1:

${\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}$

Depués, ${\displaystyle e(N)=e}$.^[16] Esta resultancia dexa envalorar el valor de la constante per mediu de simulaciones aleatories.^[17]

Sicasí, el papel más relevante que xuega'l númberu ${\displaystyle e}$ nesta caña de la matemática vien dau al traviés de la función de densidá de probabilidá pa la distribución normal con media μ y esviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[18]

${\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

El rol d'esta distribución ye central na teoría y la práutica.

Teoría de Númberos

Les siguientes dos rellaciones son corolarios direutos del teorema de los númberos primos^[19]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

onde ${\displaystyle p_{n}}$ ee n-esimo primu e ${\displaystyle p_{n}\#}$ ee'l primorial del n-esimo primu.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

onde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

Xeometría

Espiral equiangular d'ángulu α.

Al igual que ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e}$ puede interpretase como un cociente ente cantidaes amestaes a cierta curva del planu. Consideremos una curva cola propiedá de que cualesquier semirrecta que naz nel orixe corta a esta formando un ángulu de ${\displaystyle \pi /4}$ radianes (esisten preseos que dexen trazar curves con esta carauterística).^[20][21] Si tomamos dos puntos cualesquier de la curva ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ con una separación angular de 1 radián, y ${\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},}$ entonce tiense

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}=e.}$

Esta construcción puede paecer forzada pol fechu de riquir midir un radián, sicasí, esto puede consiguise bien fácilmente si dexamos la operación d'esmucir una circunferencia sobre una recta (operación más qu'avezada dientro del conxuntu de curves mecániques). La curva cola propiedá enantes señalada ye un casu especial d'espiral logarítmica o equiangular, y puede probase fácilmente qu'a partir de la so condición de "equiangularidad", la so ecuación en coordenaes polares ${\displaystyle (r,\theta )}$ vien dada por

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}$

Más xeneralmente, si la curva ye cortada formando un ángulu ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}$, entós la so espresión en coordenaes polares ye :${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.}$.

Otra manifestación relevante de y na xeometría dar cola catenaria. La catenaria ye la curva que la so forma ye adoptada por una cuerda de densidá uniforme suxeta polos sos dos estremos y sometida namái a encomalo de la gravedá. Queda determinada pola posición de los sos estremos y el so llargor.

Irracionalidá y trescendencia

Artículu principal: Demostración de que e ye irracional

El númberu real ${\displaystyle e}$ ee irracional,^[22] lo que significa que nun puede espresase como fracción de dos númberos enteros, como demostró Euler en 1737. Na so demostración, Euler valir de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, nun puede corresponder a un númberu racional. Sicasí, la demostración más conocida foi dada por Fourier, y básase nel desenvolvimientu en serie del númberu. J. H. Lambert probó en 1768 que ${\displaystyle e^{p/q}}$ ee irracional si ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ee un racional positivu.

Tamién ye un trascendente, esto ye, que nun ye'l raigañu de nengún polinomiu de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Foi'l primer númberu trascendente que foi probáu como tal, ensin ser construyíu específicamente pa tal propósitu (comparar col númberu de Liouville). La demostración d'esto foi dada por Charles Hermite en 1873.^[23] Créese que e amás ye un númberu normal. Hilbert simplificó la prueba de Hermite, Hurwitz dio una variación a la de Hilbert. Esta última prueba presentar Herstein, en castellán^[24].

Fórmules que contienen al númberu e

De siguío, esíbense delles fórmules qu'arreyen de diverses formes a ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$^[25].

${\displaystyle {\sqrt {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {e}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {e^{1}}{e^{1/2}}}\cdot {\frac {e^{1/3}}{e^{1/4}}}\cdot {\frac {e^{1/5}}{e^{1/6}}}\cdot {\frac {e^{1/7}}{e^{1/8}}}\cdots ,}$

la cual llógrase de la identidá ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$

${\displaystyle e+{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle e-{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Fórmula de Gosper:

${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12e^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

Representaciones de e

El númberu ${\displaystyle e}$ puede ser representáu como un númberu real en delles formes: como serie infinita, como productu infinitu, como fracción continua o como llende d'una socesión.

Como llende

La principal d'estes representaciones, particularmente nos cursos básicos de cálculu, ye la mesma definición de ${\displaystyle e}$, esto ye, la llende:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

En 1975, el suizu Felix A. Keller llogró la llende simétrica:^[26][27]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}$

De la fórmula de Stirling llógrase

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$ e

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$.

Amosóse tamién que

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

onde ${\displaystyle p_{n}}$ ee enésimu primu y ${\displaystyle p_{n}\#}$ ee'l primorial del enésimu primu.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

onde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

Como serie o suma infinita

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ onde ${\displaystyle B_{n}}$ ee'l ${\displaystyle n}$-esimo númberu de Bell.

Dellos exemplos d'esta última carauterización:

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}$

Como productu infinitu

El númberu ${\displaystyle e}$ puede espresase tamién por aciu productos infinitos "del tipu Wallis" de diverses formes,^[28] incluyendo'l productu de Pippenger^[29][30]

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

el productu de Catalan

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}$

y el productu de Guillera^[31][32]

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

onde'l n-ésimo factor ye la n-ésima raigañu del productu :${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

como tamién el productu infinitu

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

Como fracción continua

El desenvolvimientu decimal de e nun amuesa regularidá dalguna. Sicasí, coles fracciones continues, que pueden ser normalizaes (colos numberadores toos iguales a 1) o non, llogramos, en fracción continua normalizada:

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

lo que s'escribe ${\displaystyle e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}$, propiedá descubierta por Leonhard Euler^[33] (A003417 en OEIS). En fracción continua non normalizada tiense

${\displaystyle e=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}$

En dambos casos, e presenta regularidaes non casuales.

Díxitos conocíos

El númberu de díxitos conocíos de e aumentó descomanadamente mientres les últimes décades. Esto ye debíu tanto al aumentu del desempeñu de los ordenadores como tamién a la meyora de los algoritmos utilizaos.^[34][35] En 1949, J. von Neumann y el so grupu utilizaron el ENIAC pa llograr 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench toparon hasta 100.265 en 1961 cola fórmula d'Euler con un IBM 7090. Emplegar 2,5 hores. Yá pa 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell llegaren a 10.000.000 de decimales.

Nes últimes décades, los ordenadores fueron capaces de llograr númberos que tienen una inmensa cantidá de decimales. Asina, por casu, nel añu 2000, utilizando'l programa de cálculu PiFast33 nun ordenador Pentium III 800, llográronse 12 884 901 000 cifres decimales, pa lo que se precisó 167 hores.

Númberu de díxitos decimales conocíos de e

Fecha	Cantidá de cifres	Realizador del cálculu
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes[36]
1748	23	Leonhard Euler[37]
1853	137	William Shanks[38]
1871	205	William Shanks[39]
1884	346	J. Marcus Boorman[40]
1949	2,010	John von Neumann (on the ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks and John Wrench[41]
1978	116,000	Steve Wozniak on the Apple II[42]
1994	10 000 000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[43]
Mayu de 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Agostu de 1997	20 000 000	Birger Seifert
Setiembre de 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Febreru de 1999	200 000 579	Sebastian Wedeniwski
Ochobre de 1999	869 894 101	Sebastian Wedeniwski
21 de payares de 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 de xunetu de 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de xunetu de 2000	3 221 225 472	Colin Martin y Xavier Gourdon
2 d'agostu de 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 d'agostu de 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 d'agostu de 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de setiembre de 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 d'abril de 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayu de 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febreru de 2010	500 000 000 000	Alexander J. Yee[44]
5 de xunetu de 2010	1 000 000 000 000	Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
24 de xunu de 2015	1 400 000 000 000	Matthew Hebert[45]

Na dómina computacional del cálculu de e les cifres disparáronse, non yá por cuenta de la potencia de cálculu qu'estes máquines son capaces de xenerar, sinón tamién pol prestíu que trai pal constructor de la máquina cuando la so marca apaez na llista de los récores.

Primeres cien cifres decimales

Los cien primeres cifres de e son:

${\displaystyle e\approx 2,7182818284\;5904523536\;0287471352\;6624977572\;4709369995\;9574966967\;6277240766\;3035354759\;4571382178\;5251664274\;}$

Curiosidaes

Regles mnemotécniques

• Nel so desenvolvimientu decimal, dempués del “2,7” el númberu “1828” apaez dos veces, y dempués vienen los ángulos d'un triángulu rectángulu isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.

• 878/323 = 2.718266254 ... ye'l meyor aproximamientu racional utilizando enteros menores que 1000.^[46] Amás, dambos son palíndromos y 878-323=555.

• Inventáronse frases como regles mnemotécniques pa poder recordar les primeres cifres. Una forma de memorizar los 13 primeros díxitos ye con esta frase, namái hai que cuntar les lletres de cada pallabra: "El trabayu y esfuerciu de recordar y revuelve el mio estómagu, pero voi poder alcordame". Otru exemplu, en francés: "El to aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis" (Tu vas ayudar a recordar la cantidá a munchos doctores amigos)

e na cultura informática

Cartelu publicitariu de Google que plantegaba problema rellacionáu con e.

• Nel so ufierta publica inicial de 2004, Google anunció la so intención de recaldar $2,718,281,828, que son e miles de millones de dólares, arredondiaos a un valor enteru.
• Google foi tamién responsable d'un cartelu publicitariu qu'apaeció nel corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge; Seattle; y Austin. Nél lleíase "{primer primu de 10 díxitos topáu ente 1vos díxitos consecutivos de e}.com". Resolviendo esti problema y visitando l'anunciáu sitio web, aportar a un problema entá más difícil, que de la mesma conducía a los Google Labs, onde'l visitante taba convidáu a dexar el so currículum.^[47] El primer primu de 10 díxitos en e ye 7427466391, qu'empieza nel noventenu novenu (99°) díxitu.^[48]
• L'informáticu Donald Knuth fai que'l númberu de versión del so programa Metafont averar a e. Les versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.^[49]

Poemes al númberu e

• La matemática y poeta Sarah Glaz escribió un ellaboráu y estensu poema nel que describe la hestoria de e y les sos principales propiedaes.^[50]

• Otru poema ye'l realizáu por José Acevedo Jiménez:^[51]

Singular y encantador ye'l númberu (e).

Los sos primeros nueve díxitos decimales nun tienen de confundir te,
718281828, el 18 28 que se repite,
pos al igual que (pi) ye un númberu irracional.
De la fórmula del interés compuestu,
estiende la llende hasta l'infinitu
y vas entender lo que digo.
¡Oh! qué númberu tan fascinante qu'apaez nes finances,
del cálculu de Newton y Leibniz nin falar,
qu'atopó nos llogaritmos de Neper
la so morada al ser la so base natural.
Intrigante ye'l númberu (e),
que al alzalo a la la so derivada permanez igual;
¡qué grandiosu trascendental!
ensin ser la so intención del gran Euler ye la inicial
y nes funciones trigonométriques hiperbóliques podemos atopar,
a esi interminable numberal.
Les estrelles vamos llograr cuntar,
mas les cifres de (e) enxamás,
pos como cociente d'enteros nunca podremos espresar;
y como por mandatu divín,
con (pi) y la unidá imaxinaria puede rellacionase por aciu una formosa identidá,
que namái a Euler pudo reveláse-y.
Por eso y muncho más en diverses cañes de les matemátiques,

el númberu (y) nunca, enxamás hai de faltar.

Otros intereses

e en chocolate

• El valor principal de la espresión ${\displaystyle i^{i}}$ ee un númberu real y ta dau por^[52] ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...}$

• Esllumáu pola identidá d'Euler, Benjamin Pierce suxirió crear nuevos símbolos pa ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle \pi }$. Pierce publicó la so suxerencia en revistes de matemática y llibros de la so autoría. Por cuenta de les dificultaes tipográfiques y la semeyanza ente los símbolos, la so propuesta nun foi bien recibida y cayó nel olvidu rápido.

• Dellos matemáticos proponen declarar el 2 de xunetu de 2018 como'l día ${\displaystyle e}$.

Cuestiones abiertes sobre e

• Nun se sabe si e ye a cencielles normal en base 10 (o dalguna otra base). Esto ye, que cada unu de los diez díxitos del sistema decimal tenga la mesma probabilidá d'apaición nuna espansión decimal.
• Nun se sabe si ${\displaystyle e^{e}}$ ye trascendente
• Nun se sabe si ${\displaystyle \pi +e}$ e ${\displaystyle \pi \cdot e}$ son irracionales. Sábese que nun son raigaños de polinomios de grau inferior a nueve y con coeficientes enteros del orde 10⁹.^[53][54]

Ver tamién

Demostración de la irracionalidá de e Función esponencial Llista de constantes matemátiques Llogaritmu Llogaritmu d'una matriz Númberu irracional Númberu π Númberu trascendente

Referencies

• El conteníu d'esti artículu incorpora material d'una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, espublizada en castellán baxo la llicencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

1. Eves, Howard Whitley (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston, páx. 464.
2. Semenovich Piskunov, 1979.
3. Lima, 1991.
4. Maor, Eli (12 d'ochobre de 2011). «Recognition», "E:" The Story of a Number: The Story of a Number. Princeton University Press, páx. 12. ISBN 9781400832347.
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «Númberu e» (n'inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidá de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/y.html .
6. Pro Mathematica (PUCP) IV (7-8). 1990. ISSN 1012-3938. 
7. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra», Matemátiques 1 (en castellanu). Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 19. ISBN 9788421659854.
8. Esta forma de definir la función llogaritmu natural, el númberu e, la función esponencial, etc. puede atopase en Cálculu Infinitesimal 2ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
9. V. S. Shipachev. Op. cit.
10. Dorrie, Heinrich (1965). «The Problem of the Loxodrome», 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution. Courier Corporation, páx. 359. ISBN 9780486613482.
11. Euler, Leonhard (1783). «De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus», Acta Acad. Scient. Petropol. 2, páx. 29-51.
12. Euler, Leonhard (1921). Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig: Teubner, páx. 350-369.
13. Newman, Kasner (2007). Matemátiques ya imaxinación. Libraria, páx. 256. ISBN 9789685374200.
14. Grinstead, Charles Miller; Snell, James Laurie (2012). «Combinatorics», Introduction to Probability. American Mathematical Soc., páx. 85. ISBN 9780821894149.
15. Knuth, Donald E. (4 de xunetu de 1997). The Art of Computer Programming I. Addison-Wesley Professional, páx. 183. ISBN 9780321635747.
16. Ma, Dan (12 d'avientu de 2015). «A randomized definition of the natural logarithm constant». Probability and Stats. Consultáu'l 9 de setiembre de 2017.
17. Russell, K. G. (febreru de 1991). «Estimating the Value of e by Simulation». The American Statistician 45 (1):  páxs. 66–68. https://www.jstor.org/stable/2685243?seq=1#page_scan_tab_contents. 
18. Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
19. S. M. Ruiz 1997
20. Gheury de Bray, Maurice Edmond J. (1921). «Epsilone home: The logarithmic spiral», Exponentials made easy, or the story of 'epsilon'. Londres: Wentwoth Press, páx. 108-110. ISBN 9781362576259.
21. Olivier, Théodore (1845). «Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques», Complements de geometrie descriptive. París: Carilian-Goeury et Dalmont, páx. 445.
22. Snow, Jonathan. «A Geometric Proof that e is Irrational and a New Measure of its Irrationality». Cornell University Library.
23. «so06/transcendence%20of%20y.pdf Trascendence of e». University of Tennessee.
24. I. N. Herstein: Álxebra moderna. Editorial F. Tríes S. A. Méxicu D.F. (1970)
25. Formules 2–7: H. J. Brothers, Improving the convergence of Newton's series approximation for e, The College Mathematics Journal, Vol.35, Non.1,(2004), páxs.34–39.
26. H. J. Brothers and J. A. Knox, MIO-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e, The Mathematical Intelligencer, Vol. 20, Non. 4, (1998), páxs. 25–29.
27. Khattri, Sanjay. «From Lobatto Quadrature to the Euler constant e».
28. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf
29. Weisstein, Eric W. "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
30. . N. Pippenger, An infinite product for e, Amer. Math. Monthly 87 (1980) 391.
31. J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729–734.
32. J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270.
33. Sandifer, Ed (Xueves, 16 de febreru de 2006). «How Euler Did It: Who proved e is Irrational?». MAA Online. Consultáu'l 18 de xunu de 2010.
34. Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
35. Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
36. Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porru eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
37. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.
38. William Shanks, Contributions to Mathematics, … (London, England: G. Bell, 1853), page 89.
39. William Shanks (1871) "On the numerical values of e, log_e 2, log_e 3, log_e 5, and log_e 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27-29.
40. J. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," Mathematical Magacín, 1 (12) : 204-205.
41. Daniel Shanks and John W Wrench (1962). «Calculation of Pi to 100,000 Decimals». Mathematics of Computation 16 (77):  páxs. 76–99 (78). doi:10.2307/2003813. http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf. «We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program». 
42. Wozniak, Steve (Martes, 16 de xunu de 1981). The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer. BYTE.  páxs. 392. https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up. Consultáu'l 18 d'ochobre de 2013. 
43. Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry. «The Number e to 1 Million Digits» (inglés). Consultáu'l 16 de xunu de 2013.
44. Announcing 500 billion digits of e...
45. A list of notable large computations of e|
46. Wells, David. Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, páx. 46. ISBN 9780140118131.
47. Shea, Andrea (14 de setiembre de 2004). Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle. NPR. http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173. Consultáu'l 9 de xunu de 2007. 
48. Kazmierczak, Marcus (29 de xunetu de 2004). «Google Billboard Problems». Archiváu dende l'orixinal, el 2010-09-23. Consultáu'l 9 de xunu de 2007.
49. Knuth, Donald (1990). «The Future of TeX and Metafont». TeX Mag 5 (1). https://www.tug.org/TUGboat/tb11-4/tb30knut.pdf. 
50. Glaz, Sarah (payares de 2010). «The Enigmatic Number y: A History in Trate and Its Uses in the Mathematics Classroom». Convergence (University of Connecticut). doi:10.4169/loci003482. http://www.math.uconn.edu/~glaz/My_Articles/TheEnigmaticNumberE.Convergence10.pdf. Consultáu'l 9 de setiembre de 2017. 
51. «El númberu (y)». Poematrix. Consultáu'l 9 de setiembre de 2017.
52. Unidá imaxinaria en Mathworld [1] (n'inglés). consulta: 21 d'abril de 2008
53. Bailey, David H. (xineru de 1988). «Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, y and Euler's Constant». Mathematics of Computation 50 (181):  páxs. 275-281. doi:10.2307/2007931. https://www.jstor.org/stable/2007931?seq=1#page_scan_tab_contents. 
54. «Pi» (inglés). Wolfram Math World. Consultáu'l 21 d'abril de 2008.

Bibliografía

• Shipachev, V. S. (1991). Fundamento de les matemátiques cimeres. Moscú: Mir, páx. 424. ISBN 9785060000481.
• Lima, Elon Lages (1991). Curso d'analís matemáticu 1. Barcelona: Edunsa, páx. 369. ISBN 9788477470557.
• Banach, Stefan (1967). Cálculu diferencial ya integral. Méxicu D.F.: UTEHA.
• Kong, Maynard (1991). Cálculu diferencial. PUCP., Fondu Editorial, páx. 540.
• Granville, William Anthony; Smih, Percy F.; Longley, William Raymond (1980). Cálculu diferencial ya integral. Limusa, páx. 686. ISBN 9789681811785.
• Semenovich Piskunov, Nikolai (1979). Cálculu estrema ya integral I. Lopes da Silva.
• Laguna Rodríguez, Enrique; Vasallu; Gómez; Domínguez (2000). Cálculu diferencial ya integral: bases pa un cálculu picudu I. ULA, páx. 347.

Enllaces esternos

• Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión. Archiváu 2022-01-08 en Wayback Machine (castellán)

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Númberu e.
• Les primeres diez mil cifres decimales del númberu e
• Un millón de cifres del númberu e.
• Fórmula pal cálculu de llendes de socesiones del tipu 1 eleváu a infinitu
• Programa pal cálculu de e y d'otru gran númberu de constantes (inglés)
• e Approximations – Wolfram MathWorld
• http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
• The On-line Encyclopedia of Integer Sequences

• Datos: Q82435
• Multimedia: E (mathematical constant)