معادلة حفظ الطاقة المدارية

في ديناميكا الفضاء ,معادلة حفظ الطاقة المدارية ((بالإنجليزية: Vis-viva equation)‏) هي أحد المعادلات الأساسية التي تحدد الحركة المدارية للأجسام.

معادلة حفظ الطاقة المدارية

معادلة حفظ الطاقة المدارية n^[1] لمدار كيبلرسواء كان بيضاوي الشكل أو قطع مكافئ أو قطع زائد أوشعاعي هي :

${\displaystyle v^{2}=G(M\!+\!m)\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}$

• ${\displaystyle v\,\!}$ السرعة النسبية للجسمين
• ${\displaystyle r\,\!}$ المسافة الفاصلية بين جسمين
• ${\displaystyle a\,\!}$ محور شبه رئيسي (a>0 في حالةقطع ناقص، ${\displaystyle a=\infty }$ أو ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$=0 لـ قطع مكافئ،و a<0 لـ قطع زائد)
• ${\displaystyle G\,\!}$ ثابت الجاذبية
• ${\displaystyle M,m\,\!}$ كتلة الجسيمين

استنتاج المعادلة

طاقة المدار الكلية هي مجموع الطاقة الكامنة المشتركة والطاقة الحركية للجسم الأول M والجسم الثاني m وتعطى بالمعادلة التالية :

${\displaystyle E={\frac {-GMm}{r}}+{\frac {M(v_{M})^{2}}{2}}+{\frac {m(v_{m})^{2}}{2}}}$

• ${\displaystyle v_{M}\,\!}$ سرعة الجسم M.
• ${\displaystyle v_{m}\,\!}$ سرعة الجسم m

ويمكن حساب طاقة المدار باستخدام كميات نسبية

${\displaystyle E={\frac {-GMm}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}}$

• ${\displaystyle v\,\!}$ السرعة النسبية للكتلتين
• ${\displaystyle \mu ={\frac {Mm}{M\!+\!m}}}$ كتلة مخفضة

بينما تكون الطاقة الكلية للمدار الإهليجي أو الدائري

${\displaystyle E={\frac {-GMm}{2a}},}$

• ${\displaystyle a\,\!}$ شبه المحور الرئيسي.

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(M\!+\!m)}{r}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {-G(M\!+\!m)}{2a}}}$

وبمساواة المعادلتين السابقتين نحصل على

${\displaystyle v^{2}=G(M\!+\!m)\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right).}$

المراجع

1. Orbital Mechanics نسخة محفوظة 12 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.