في التحليل المركب ، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية : Cauchy's integral formula ) على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي ، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.[ 1] [ 2]
ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C D
D
=
{
z
:
|
z
− − -->
z
0
|
≤ ≤ -->
r
}
{\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}
ضمن المجموعة U
f
(
a
)
=
1
2
π π -->
i
∮ ∮ -->
C
f
(
z
)
z
− − -->
a
d
z
{\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!}
1
z
− − -->
a
=
1
+
a
z
+
(
a
z
)
2
+
⋯ ⋯ -->
z
{\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}
ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات
f
(
n
)
(
a
)
=
n
!
2
π π -->
i
∮ ∮ -->
C
f
(
z
)
(
z
− − -->
a
)
n
+
1
d
z
.
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}
المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g (z ) = z 2 / (z 2 + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص. لتكن الدالة
g
(
z
)
=
z
2
z
2
+
2
z
+
2
{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}
g
(
z
)
=
z
2
(
z
− − -->
z
1
)
(
z
− − -->
z
2
)
{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}
انظر إلى نعومة دالة .
f
(
ζ ζ -->
)
=
1
2
π π -->
i
∫ ∫ -->
C
f
(
z
)
z
− − -->
ζ ζ -->
d
z
.
{\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}
