هناك عدة طرق متكافئة لتعريف الدوال المثلثية، ويعتمد إثبات المتطابقات المثلثية بينهما على التعريف المختار. يعتمد التعريف الأقدم والأكثر بدائية بطريقة ما على هندسة المثلثات القائمة. تستخدم البراهين الواردة في هذه المقالة هذا التعريف، وبالتالي تنطبق على الزوايا غير السالبة التي ليست أكبر من الزاوية القائمة. للزوايا الأكبر والسالبة، انظر الدوال المثلثية .
المتطابقات المثلثية الابتدائية
متطابقات فيثاغورس
المتطابقة 1:
النتيجتان التاليتان تتبعان هذه ومتطابقات النسب المثلثية. للحصول على الأولى، نقوم بتقسيم الطرفين على ؛ للثانية، نقسّم على .
بصورة مماثلة:
المتطابقة 2:
الحسابات التالية لجميع الدوال العكسية الثلاث.
البرهان 2:
الرجوع إلى الرسم البياني للمثلث. لاحظ أن حسب مبرهنة فيثاغورس.
بتعويض بالدوال المناسبة:
تعطي إعادة الترتيب:
متطابقات مجموع الزوايا
الجيب
ارسم خطًا أفقيًا (محور x)؛ حدد نقطة الأصل O. ارسم مستقيمًا من O يميل بزاوية فوق المستقيم الأفقي والمستقيم الثاني يميل بزاوية فوق المستقيم الأخير؛ الزاوية بين المستقيم الثاني ومحور x هي .
ضع النقطة P على المسقيم المحدد بـ على مسافة قياسها 1 من الأصل.
ليكن PQ مستقيم عمودي على المستقيم OQ المحدد بالزاوية ، مرسوم من النقطة Q على هذا الخط إلى النقطة P. إذن OQP هي زاوية قائمة.
ليكن QA عمودي من النقطة A على محور x إلى Q، وPB عمودي من النقطة B على المحور x إلى P. إذن OAQ وOBP زاويتان قائمتان.
نرسم النقطة R على PB بحيث يكون QR موازيًا للمحور x.
الآن الزاوية (لأن تجعل و ، إذن )
، إذن
، إذن
بتعويض بـ وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:
جيب التمام
باستخدام الشكل أعلاه:
، إذن
، إذن
بتعويض بـ وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:
لكن تعويض الزاوية بنسختها المضاعفة، والذي يحقق نفس النتيجة في الطرف الأيسر من المعادلة، ينتج:
يترتب على ذلك أن:
.
بنشر المربع والتبسيط على الطرف الأيسر من المعادلة يعطي:
.
لأن الأجزاء التخيلية والحقيقية يجب أن تكون هي نفسها، يتبقى لدينا المتطابقات الأصلية:
,
وأيضًا:
.
متطابقات نصف الزاوية
تؤدي المتطابقتان اللتان تعطيان الأشكال البديلة لـ cos 2θ إلى المعادلات التالية:
يجب اختيار إشارة الجذر التربيعي بشكل صحيح - لاحظ أنه إذا أضيفت 2π إلى θ، فإن الكميات الموجودة داخل الجذور التربيعية لن تتغير، لكن إشارة الأطراف اليسرى من المعادلات تتغير. ولذلك، فإن الإشارة الصحيحة التي يجب استخدامها تعتمد على قيمة θ.
بالنسبة لدالة الظل، المعادلة هي:
عندئذ بضرب البسط والمقام داخل الجذر التربيعي بـ (1 + cos θ) وباستخدام متطابقات فيثاغورس:
وأيضًا، إذا ضُرِبَا البسط والمقام في (1 - cos θ)، ستكون النتيجة هي:
وهذه تعطي أيضا:
نفس الشيء بالنسبة لدالة ظل التمام:
متطابقة ثلاثية الظلال
إذا كانت المساواة "ψ + θ + ϕ = π= نصف دائرة" محققة (على سبيل المثال، ، و و هي زوايا المثلث)، فإن: