معادلة هاميلتون

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) ${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)}$ هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن ${\displaystyle t}$ و إحداثيات الوضع ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})}$ و زخم الحركة لكل الجسيمات ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})}$ .

عند دراسة حركة جسيم كتلته ${\displaystyle m}$ يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )}$^[1]

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}}$

حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.}$

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

دالة هاميلتون و دالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج ${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})}$ التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , ${\displaystyle {\dot {q}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}\dots {\dot {q}}_{n})}$ :

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}\,p_{k}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})}$

نجد على اليمين السرعات ${\displaystyle {\dot {q}}}$ التي تؤول إلى الدوال ${\displaystyle {\dot {q}}(t,q,p)}$ عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m{\dot {\mathbf {q} }}}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}}$

أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\mathbf {p} \,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}}}$

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

${\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}\ ,\quad {\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}\,.}$

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة ${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)}$ كدالة للمعاملين ${\displaystyle q}$ و ${\displaystyle p}$ .

مراجع

1. les maths en physiques"la physiques à travers le filtre des mathématiques"

انظر أيضا

• ميكانيك لاغرانج
• تحويل ليجاندر
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا