دالة المقلوب

  ميّز عن دالة عكسية.

دالة المقلوب
التمثيل البياني لدالة المقلوب له شكل قطع زائد قائم. التمثيل البياني لدالة المقلوب له شكل قطع زائد قائم.
تدوين	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
دالة عكسية	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
مشتق الدالة	${\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle \ln \vert x\vert +C}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$
المجال المقابل	${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	على اليمين: ${\displaystyle +\infty }$ على اليسار: ${\displaystyle -\infty }$
نهاية الدالة عند +∞	0
نهاية الدالة عند -∞	0
خطوط مقاربة	${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$
نقاط ثابتة	-1 و 1
ملاحظات	${\displaystyle x\neq 0}$
تعديل مصدري - تعديل

دالة المقلوب (بالإنجليزية: reciprocal function)‏ هي الدّالة التي تحوّل العدد إلى مقلوبه.

دالة المقلوب هي الدّالة التي يمكن كتابتها عاى هيئة: ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x-h}}+k}$

تكتب على هذا النحو: ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ومعامل المقلوب هو العدد الثابت a بحيث : a=1 (أي تبقى قيمة a ثابتة لا تتغير).

أنواعها

- تآلفية دالة المقلوب : وتكتب على هذا النحو : F(x)=1/x+1 ومعاملها هو a=1 ويمكن دراسة تغيرات العدد b ويسمى بالملحق التآلفي .

إثبات مشتق الدالة

برهان

${\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} ^{*}\,}$

${\displaystyle {\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {{\dfrac {1}{a+h}}-{\dfrac {1}{a}}}{h}}}$

${\displaystyle {\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {\dfrac {a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}}}$

${\displaystyle {\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {a-a-h}{a(a+h)}}\cdot {\dfrac {1}{h}}}$

${\displaystyle {\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {-1}{a(a+h)}}}$

${\displaystyle \therefore \!\,}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {-1}{a^{2}}}}$

${\displaystyle f'(a)=-{\dfrac {1}{a^{2}}}}$

تكامل

مشتق عكسي لـ ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ هي الدالة اللوغاريتم الطبيعي : ${\displaystyle \ln \vert x\vert +C}$ حيث C ثابت حقيقي.

انظر أيضا

• لوغاريتم طبيعي